Wenn zum Beispiel die Schwerkraft mit dem Würfel statt mit dem Quadrat der Entfernung von der Sonne abfallen würde, würden die Planeten dann immer noch elliptischen Bahnen folgen?
Nein, Sie können keine stabile Umlaufbahn erreichen. Bei Animationen ist es sehr interessant, was man mit einer Kombination aus 1/r² + 1/r³ bekommt. Sie erhalten eine elliptische Umlaufbahn, die präzediert, wie Sie es von der Relativitätstheorie erwarten würden (dh die Ellipse dreht sich um das zentrale Objekt). Sie können die Geschwindigkeit der Präzession steuern, indem Sie die Menge des von Ihnen verwendeten Kubikterms anpassen. Ich bin mir nicht sicher, warum das funktioniert (ich habe meine Vermutungen), aber es ist ein großartiger Trick, wenn Sie eine schnelle Animation einer elliptischen Umlaufbahn machen möchten, die präzediert. Die Verwendung von nur 1/r² erzeugt eine Ellipse, die niemals präzediert, unabhängig von den Startpositionen und dem Impuls einer 2-Körper-Umlaufbahn.
Die kurze Antwort ist nein, wenn Sie verlangen, dass die Umlaufbahnen stabil und geschlossen sind.
Während jedes zentrale Potential unter den richtigen Anfangsbedingungen "kreisförmige" Bahnen erzeugen kann, wurde (von Bertrand, wie in den Kommentaren erwähnt) gezeigt, dass es nur zwei Potentiale gibt, die möglicherweise stabile und perfekt geschlossene Bahnen erzeugen können. Das erste ist das Gravitationspotential und das zweite ist ein harmonischer Oszillator (was wahrscheinlich nicht das ist, was Sie gedacht haben).
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