Widerlegung des Modus Ponens

Lewis Carrolls Puzzle erschien erstmals in der Aprilausgabe 1895 von Mind. Es beeinflusste direkt die Formulierung des ersten primitiven Satzes von Whitehead & Russells Principia Mathematica .

Dieses Rätsel enthüllt den Unterschied zwischen Implikation und Schlussfolgerung: Eine Implikation sagt Ihnen nur, was auf Ihre Prämisse folgt, sagt Ihnen aber nicht, ob Ihre Prämisse wahr ist; eine Schlussfolgerung sagt Ihnen, was Sie aus einer wahren Aussage schließen können.

Der Leser der zweiten Art braucht eine Hypothese, um aus A und B auf Z zu schließen (nicht nur zu implizieren). Die Hypothese ist Modus Ponens. Regression geschieht, weil Modus Ponens in einer falschen Form dargestellt wird:

IF P und (IF P Then Q) Then Q

Es verwendet If-Then anstelle von „daher“, daher werden sowohl P als auch (If P Then Q) in einer hypothetischen Form dargestellt. Unabhängig davon, ob P oder (WENN P, dann Q) wahr ist oder nicht, ist die Implikation (die äußere WENN-DANN-Aussage) immer wahr, zB „wenn Schweine fliegen, dann bin ich Papst“ ist immer wahr. Da eine Implikation weder die Prämisse noch die Schlussfolgerung behauptet, wird eine endlose Regression niemals die Behauptung von Q erreichen.

Die korrekte Form von Modus Ponens sollte so aussehen:

If P Then Q
P
Therefore Q

Beachten Sie, dass, wenn „DARES FORE“ das äußere IF-THEN ersetzt, Q nicht behauptet wird, es sei denn, sowohl P als auch (IF P Then Q) sind wirklich wahr. „DARUM“ sollte nur für Rückschlüsse verwendet werden, die von wahrer Behauptung zu wahrer Behauptung gezogen werden.

In Whitehead & Russells Principia Mathematica wird Modus Ponens in Form von ✳1.1 und ✳ 1.11 dargestellt. Beides sind primitive Sätze, dh unbewiesene Sätze.

✳1.1. Alles, was der wahre Elementarsatz impliziert, ist wahr. Pp.

✳1.11. Wenn ϕx behauptet werden kann, wobei x eine reelle Variable ist, und ϕ(x) impliziert, dass Ψ(x) behauptet werden kann, wobei x eine reelle Variable ist, dann kann Ψ(x) behauptet werden, wobei x eine reelle Variable ist.

Beachten Sie das Fehlen von Hypothesen.

Es gibt gewissermaßen keine Widerlegung. Wenn sich jemand willentlich und ohne Widerrede weigert, ein Grundgesetz der Logik (modus ponens) zu akzeptieren; dann kann man die Gesetze der Logik kaum anwenden.

Anstatt sich auf einen sinnlosen und langatmigen Streit einzulassen, der nirgendwohin führt, kann man Diskretion walten lassen und weggehen.

Achilles, der der Gnade des Autors (und der Schildkröte) ausgeliefert ist, kann dies offensichtlich nicht.

Könnte man nicht mit der Begründung widersprechen, dass sie modus ponens verwenden, um gegen seine eigene Gültigkeit zu argumentieren?

Das Argument scheint zu sein:

Wenn (man widerspricht MP), dann (man kann C ablehnen).

Ich widerspreche MP.

Daher kann ich C ablehnen.

Wenn jemand modus ponens ablehnt, würde ich ihn fragen, womit er ihn ersetzen möchte, denn schließlich brauchen wir eine Schlußregel, die es uns erlaubt, neue Aussagen aus alten zu beweisen, weil es sonst keine Möglichkeit gibt, logisch zu argumentieren alle.

Ich bin fasziniert von diesem Artikel von Lewis Carroll, und ich denke, meine Ideen dazu stimmen mit der Unterscheidung überein, die George Chen zwischen dem Wissen um eine Implikation (von hypothetischer Form: wenn dies dann das) und dem Ausführen einer Schlussfolgerung (von, sagen wir, kategorischen) getroffen hat Form: dies also das).

Hier ist die Argumentation, mit der ich mich George Chen annäherte: Ich dachte, Carrolls Paradoxon zeigt uns, dass wir mit der Kenntnis logischer Gesetze andere Dinge tun als mit der Kenntnis vieler anderer Dinge. Bedenken Sie, dass wir, wenn wir die Wahrheit von „P“ erkennen, die Tatsache, dass P oft als Beweis für den Rest unserer Überzeugungen verwenden. Wir schließen von "P" auf andere Dinge. Zum Beispiel können wir aus der Aussage, dass es heute sonnig ist, auf die Aussage schließen, dass wir einen Sonnenbrand bekommen, wenn wir uns zu lange im Freien aufhalten.

Wenn es jedoch darum geht, die Wahrheit logischer Gesetze zu erkennen, verwenden wir solche Wahrheiten oft nicht als Grundlage für Schlüsse. (Obwohl wir das natürlich dürfen.) Die Anerkennung des logischen Gesetzes erlaubt es uns, richtig und rechtmäßig eine Schlussfolgerung zu ziehen . Während das Wissen um ein logisches Gesetz ein Fall von propositionalem Wissen ist, denke ich, - wir wissen, dass wenn P und P → Q, dann Q, für jedes P und Q -, ist seine Anwendung eine andere Art von Handlung als die Anwendung von anderen Sätzen.

Wie ich es gesehen habe und immer noch tue, wäre Achilles erkenntnistheoretisch erlaubt, von den (bekannten) Prämissen zur Schlussfolgerung zu gehen, nicht weil er eine weitere (bekannte) Prämisse hat, die besagt, dass eine solche Schlussfolgerung wahrheitsbewahrend ist, sondern weil er logisch kompetent ist ( dh hat einen großen epistemischen Zugang zu logischen Fakten) und dies erlaubt ihm, die Schlussfolgerung korrekt zu ziehen .