Der Physiker Max Tegmark ist weithin dafür bekannt, dass es ein Multiversum gibt, in dem mathematische Strukturen als reale und tatsächliche Universen existieren würden ( https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_universe_hypothesis ) .
Er hat vorgeschlagen, dass seine mathematischen Strukturen vollständig konsistent wären. Er verwendet Hilberts Definition der mathematischen Existenz (die im Grunde besagt, dass eine mathematische Struktur existieren wird, solange sie konsistent ist).
Aber er veröffentlichte ein relativ neues Papier ( https://arxiv.org/pdf/0704.0646.pdf ), in dem er sagt:
Ich gehe davon aus, dass nur berechenbare und entscheidbare (im Sinne von Gödel) Strukturen existieren
Das hat mich sehr verwirrt, da Gödels Unvollständigkeitssätze folgern, dass Unentscheidbarkeit Konsistenz und Entscheidbarkeit Inkonsistenz impliziert.
Also, was passiert hier? Schlägt er jetzt inkonsistente mathematische Strukturen vor? Hat er seine Meinung geändert?
Diese Verwirrung wird am Ende des Artikels schlimmer, wo er sagte:
Laut CUH ist die mathematische Struktur unseres Universums berechenbar und daher in dem starken Sinne wohldefiniert, dass alle seine Beziehungen berechnet werden können. Es gibt also keine physikalischen Aspekte unseres Universums, die unberechenbar/unentscheidbar sind, was die oben erwähnte Sorge beseitigt, dass Gödels Arbeit es irgendwie unvollständig oder inkonsistent macht.
Dies scheint Gödels Theoremen zu widersprechen: Wenn ein Universum vollständig entscheidbar, definiert und vollständig wäre, würde das nicht bedeuten, dass es inkonsistent wäre?
Dieses CUH ist genauso inkohärent wie MUH (dh „ alle mathematischen Strukturen existieren “), wenn auch nicht so offensichtlich. Damit „ alle und nur berechenbare mathematische Strukturen existieren “, um eine kohärente Behauptung zu sein, muss man davon ausgehen , dass der Begriff „berechenbare Struktur“ wohldefiniert und absolut ist. „Berechenbare Struktur“ kann jedoch nicht definiert werden, ohne etwas mehr oder weniger Äquivalentes zur Existenz eines Modells N von TC oder PA − anzunehmen . Aber Th(N) ist für jedes solche N unentscheidbar, als triviale Konsequenz aus Gödels Unvollständigkeitssatz!! Daher fällt die ganze Idee flach auf die Fresse.
Eine oft vernachlässigte, aber entscheidende Hypothese von Gödels Unvollständigkeitssatz ist, dass die betreffende Theorie stark genug ist – es reicht aus, dass die Theorie die Theorie der ganzzahligen Arithmetik diskutieren kann.
Ein Standardbeispiel für eine entscheidbare Theorie ist (Tarskis Axiomatisierung der) euklidischen Geometrie. Oder im Grunde dasselbe, die Theorie erster Ordnung der Arithmetik mit reellen Zahlen (als "reales geschlossenes Feld" bezeichnet).
(Die Behauptung, dass die Theorie der reellen Zahlenarithmetik die Theorie der ganzzahligen Arithmetik nicht diskutieren kann, mag überraschen; der Punkt ist jedoch, dass wir nicht fragen, wie man Operationen berechnet, sondern wie man Fragen diskutiert, wie zum Beispiel, ob bestimmte Gleichungen ganzzahlige Lösungen haben . In der Theorie erster Ordnung der reellen Arithmetik können Sie nicht definieren, was es bedeutet, eine ganze Zahl zu sein, und daher können Sie zwar fragen, ob bestimmte Gleichungen eine Lösung haben, Sie können jedoch nicht fragen, ob eine der Lösungen ganze Zahlen sind.)
Hilbert war Formalist. Er meinte nicht, dass die Dinge, auf die sich die Symbole beziehen, tatsächlich existieren, nur weil ein formales System konsistent ist. Er hat es lediglich so verstanden, dass mit dem formalen System gearbeitet werden kann und dennoch nützliche Antworten gegeben werden können.
Die Position, die Sie Hilbert zuschreiben, nennt man mathematischen Realismus: dass konsistente mathematische Objekte tatsächlich existieren.
Gödels Unvollständigkeitssätze sagten nicht, dass Unentscheidbarkeit Konsistenz impliziert. Aber allein diese Entscheidbarkeit impliziert Widersprüchlichkeit. Und dies in jeder Theorie, die Peanos Axiome für die Arithmetik unterstützt.
Es kann gezeigt werden, dass die elementare euklidische Geometrie, die eine euklidische Geometrie ist, die mit der Logik erster Ordnung ohne Mengenlehre verbunden ist, vollständig und konsistent ist. Dies wurde 1951 von Tarski gemacht. Und wir können daraus schließen, dass es ein schwächeres System als die Arithmetik ist.
Auch die Theorie der reell abgeschlossenen Felder ist vollständig. Dies wurde 1940 auch von Tarski erreicht. Es stellt sich heraus, dass dies mit dem vorherigen Beispiel zusammenhängt, da die elementare euklidische Geometrie ein Modell eines reell abgeschlossenen Feldes ist.
Ich bin kein großer Fan von Tegmarks Theorien – also höre ich hier auf.
Benutzer4894
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Konifold
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