Wie entstehen Wahrscheinlichkeiten in der Viele-Welten-Interpretation?

Wenn Sie einen Quantenzustand haben, in dem mehr als eines der möglichen Ergebnisse einer bestimmten Messung eine Amplitude ungleich Null hat (ein unscharfer Zustand im Gegensatz zu einem scharfen Zustand, in dem es nur ein Ergebnis gibt), dann sagt das MWI das dort werden mehrere Versionen von Ihnen sein, und jede Version wird ein mögliches Ergebnis sehen.

In der standardmäßigen (nicht-MWI) Betrachtungsweise der Quantenmechanik tritt tatsächlich nur eines dieser Ergebnisse auf, und es tritt mit einer Wahrscheinlichkeit auf, die dem Quadrat der Amplitude entspricht. Wenn der Staat ist

$$\tfrac{1}{\sqrt{3}}|0\rangle+\sqrt{\tfrac{2}{3}}|2\rangle,$$ Das bedeutet, dass Sie bei einer Beobachtung entweder eine 0 oder eine 2 auf Ihrem Messgerät sehen. Du wirst es nicht sehen $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$oder $\sqrt{\tfrac{2}{3}}$. Vielmehr ist die Wahrscheinlichkeit, 0 zu bekommen $\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1/3$und die Wahrscheinlichkeit von 2 ist $\left(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right)^2=2/3$. Es ist wichtig zu beachten, dass es ziemlich unklar ist, wie diese Aussage im Standardkonto zu verstehen ist. Schließlich passiert in jedem bestimmten Experiment nur eine Sache, warum also nicht einfach sagen, dass die Wahrscheinlichkeit 1 ist? Oder warum nicht allen Möglichkeiten unabhängig von ihrer Amplitude dieselbe Wahrscheinlichkeit zuordnen?

Jemand könnte sagen, dass die Wahrscheinlichkeit die relative Häufigkeit für viele identische Experimente ist. Aber das schafft Probleme. Selbst bei einer sehr großen Anzahl von Experimenten stimmen die Wahrscheinlichkeit und die relative Häufigkeit nicht genau überein. Und selbst die Wahrscheinlichkeit, dass sie ungefähr übereinstimmen, ist nicht eins, sondern eins minus einer kleinen Zahl. Warum können Sie dann die geringe Wahrscheinlichkeit eines abweichenden Ergebnisses vernachlässigen? Sie könnten versuchen, dies zu beheben, indem Sie in einer unendlichen Anzahl von Experimenten an die Grenze der relativen Häufigkeit gehen, aber dies würde die Schlussfolgerung für eine endliche Anzahl von Experimenten irrelevant machen, selbst wenn sie das Problem in gewissem formalen Sinne beseitigen würde.

Einige Leute haben gesagt, dass Wahrscheinlichkeit ein Maß für Unwissenheit ist, aber das macht auch keinen Sinn. Wenn Sie unwissend sind, dann wissen Sie etwas nicht und können ihm keine genauen Zahlen zuordnen. Und überhaupt, warum sollten diese Zahlen die quadratischen Amplituden sein, die sich wie Dinge verhalten, die Sie auf sehr präzise Weise steuern können, indem Sie mit Magnetfeldern um Atome und dergleichen herumspielen?

Wenn wir also im MWI nichts über Wahrscheinlichkeiten erklären könnten, wären wir nicht schlechter dran als die Standardsicht der Quantenmechanik, die auch keine Wahrscheinlichkeiten erklären kann. Wir könnten einfach sagen: „Wir vermuten, dass dies die Wahrscheinlichkeiten sind, aber wir wissen nicht, warum.“ Aber es geht noch ein bisschen besser. die quadratischen Amplituden bedeuten tatsächlich etwas im MWI. Die Amplituden sind objektiv real. Also könnte man folgendes sagen.

Wenn der Zustand scharf wäre und ich den Zustand kenne, wäre ich bereit, einen Cent auf das Ergebnis zu setzen, um dafür zwei Cent zu bekommen, wenn ich mit dem Ergebnis richtig liege. Aber gibt es eine Möglichkeit zu entscheiden, ob ich einen Pfennig auf einen unscharfen Zustand, wie den oben angegebenen, setzen sollte? Um das zu entscheiden, müsste man jedem Staat eine Nummer zuweisen$V(state)$das stellt dar, wie viel Sie wetten sollten. Betrachten wir einen einfacheren Fall, in dem der Zustand ist

$$\tfrac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\tfrac{1}{\sqrt{2}}|2\rangle,$$ und die 0 und 2 stehen dafür, wie viele Cent Sie gewinnen werden. Die vollständige Argumentation ist hier nachzulesen:

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9906015

aber worauf es ankommt ist folgendes. Sie könnten die 0 und die 2 vertauschen, und das würde den Zustand nicht ändern, also sollten Sie die beiden Ergebnisse als gleich gewichtet behandeln und so tun, als ob der Wert gleich wäre$1/2(0+2) = 1$. (Das Argument ist nicht ganz so einfach, aber es hängt von der Symmetrie ab.) Mit einigen anderen Annahmen zum Wetten können Sie alle probabilistischen Vorhersagen der Quantenmechanik erhalten.

Befürworter des MWI sind also bei der Erklärung der Wahrscheinlichkeit nicht schlechter dran als Befürworter anderer Interpretationen der Quantenmechanik, und wohl sogar besser dran.

Ihr verlinkter Artikel („Wie entstehen Wahrscheinlichkeiten…“) scheint nur zu erklären, warum jedes Universum intern konsistent ist und sich so verhält, wie wir es statistisch erwarten würden. Das Argument lautet ziemlich genau, dass es natürlich durchaus möglich ist, seltsames Verhalten zu bekommen, aber es ist genauso wahrscheinlich wie in einem einzigen Universum, das den bekannten physikalischen Gesetzen gehorcht. Der „handwinkende“ Teil lautet dann normalerweise so etwas wie „Natürlich sind wir möglicherweise nicht in der Nähe, um ein Universum zu beobachten, in dem sich Menschen spontan zersetzen, weil der Beobachter sich ebenfalls zersetzen könnte“ oder eine Variation des anthropischen Prinzips.

Ich muss jedoch hinzufügen, dass dies nur das Argument ist, das Sie in populären Diskussionen hören, ich bin sicher, dass es auch mehr technische Erklärungen gibt, und ich freue mich darauf ;)

Es gibt eine gültige Ableitung der Born-Regel, aber hier gehen Sie von einer schwächeren Annahme aus, es ist nicht die Art von Ab-initio-Ableitung nur von den anderen Postulaten, wie die MWI-Befürworter gerne hätten. Dieses Argument funktioniert wie folgt. Wir beginnen mit der Frage, woher wir wissen, dass die Born-Regel tatsächlich gültig ist. Die Antwort muss das Durchführen von Experimenten, das Sammeln der Statistiken und das Testen beinhalten, ob die Vorhersage der Born Rule mit den gemessenen Statistiken übereinstimmt. Dies bedeutet, dass Sie auch ein Gedankenexperiment in Betracht ziehen können, bei dem Sie ein solches Experiment auf quantenkohärente Weise durchführen würden, sodass Sie eine beobachtbare A haben, die einem Maß dafür entspricht, wie weit die Statistik von dem abweicht, was die Born-Regel vorhersagt.

Die Born-Regel ist dann gleichbedeutend mit der Aussage, dass es eine Folge solcher Observablen gibt, die dem Sammeln immer größerer Mengen an Statistiken entsprechen, so dass sich das System an der Grenze einer unendlichen Menge an Statistiken immer in einem Eigenzustand von befindet A entspricht einem Eigenwert von Null.

Damit die Born-Regel gilt, müssen wir also nur eine schwächere Variante der Born-Regel annehmen, die lediglich besagt, dass, wenn bekannt ist, dass sich ein System in einem Eigenzustand einer Observable befindet, die Messung dieser Observable den entsprechenden Eigenwert dieses Eigenzustands ergibt mit Sicherheit.