Gibt es eine objektive Asymmetrie zwischen einer kollabierten und einer nicht kollabierten Wellenfunktion?

Was Sie sagen, ist richtig. Tatsächlich trägt der Endzustandsvektor im Vergleich zum Anfangszustandsvektor viel weniger Informationen. Die Wellenfunktion$|\psi(t)\rangle$per Definition trägt die gesamte Information, die das System zu bieten hat. Vorstellen$|\psi(t)\rangle$ein Vektor in einem n-dimensionalen Hilbertraum sein. Jeder Vektor kann in eine lineare Zusammensetzung von Basisvektoren zerlegt werden. Sagen wir das:

$$\begin{equation} |\psi(t)\rangle=\sum_i^{\infty}c_n|\phi_n(t)\rangle \end{equation}$$ Wo $|\phi_n(t)\rangle$sind die Basisvektoren. Was jede Messung macht, ist, dass sie die Projektion des Zustandsvektors entlang eines bestimmten Basisvektors (sagen wir entlang $|\phi_k(t)\rangle$). Was wir dann haben, ist; $$\begin{equation} \langle\phi_k(t)|\psi(t)\rangle=\sum_i^{\infty}c_n\langle \phi_k(t)|\phi_n(t)\rangle=c_k \end{equation}$$ Die obige Gleichung funktioniert aufgrund der Orthonormalität der Basisvektoren. Worauf der Zustandsvektor nun reduziert wird $|\phi_k(t)\rangle$und der Messwert ist der Skalierungsfaktor entlang des Basisvektors, der ist $c_k$. Diese Änderung des Zustandsvektors des Systems aus $|\psi(t)\rangle$Zu $|\phi_k(t)\rangle$ist im Wesentlichen als Kollaps der Wellenfunktion bekannt. Was Sie jetzt nach der Messung übrig haben, ist $|\phi_k(t)\rangle$und es ist keine Operation möglich, zu der es zurückkehren kann $|\psi(t)\rangle$da wir nicht alle kennen $c_n$.

Es muss erwähnt werden, dass Sie, wenn Sie eine Anzahl gleicher Zustandsvektoren haben, Messungen entlang aller möglichen Grundlagen durchführen können, um den Anfangszustand zu rekonstruieren. Dieses Verfahren wird als Zustandstomographie bezeichnet.

Was ich verwirrend finde, ist, dass jede Wellenfunktion durch einen Vektor im Hilbert-Raum dargestellt werden kann, und ich kann nicht verstehen, wie man sagen kann, dass ein Vektor mehr Informationen trägt als ein anderer.

Wenn wir den Kollaps stochastisch modellieren, dann eine Filterung des Probenraums, die den Grad an verfügbarer Information zum Zeitpunkt angibt$t$:

Die Filterung kann als alle verfügbaren historischen Informationen über einen stochastischen Prozess interpretiert werden, wobei das algebraische Objekt ... an Komplexität gewinnt. Einen stochastischen Prozess, der an eine Filtration angepasst ist, nennt man nicht antizipierend, also einen, der nicht in die Zukunft sehen kann.

Allerdings habe ich diese mathematische Technologie im QM noch nicht gesehen ...

Dies ist die Antwort eines Experimentators:

Hier ist das Doppelspaltexperiment, ein Elektron nach dem anderen .

Jeder zufällig aussehende Fleck in Bild a) ist der Fußabdruck eines Elektrons in der (x,y)-Ebene des Detektors. Dieses Elektron wurde, bevor es auf den Schirm traf, durch eine Wellenfunktion und durch die Randbedingungen beschrieben, die den spezifischen Versuchsaufbau aufgreifen: Einfall aus einer Strahlrichtung, Streuung an zwei Spalten mit bestimmten Abständen und Breiten. Diese Randbedingungen ergeben eine bestimmte Wellenfunktion für das einzelne Elektron, dessen Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Auffinden eines Elektrons bei einem bestimmten (x,y) angibt.

Um diese Verteilung experimentell zu erhalten, tritt eine dritte Randbedingung ein, der Schirm bei z und die Atome/Moleküle, auf die das Elektron trifft, damit es sichtbar wird. Das ist eine andere Wellenfunktion. Sobald das Elektron auf den Schirm trifft und als Punkt erkannt wird, hält die ursprüngliche Wellenfunktion nicht mehr, dh sie ist zusammengebrochen, weil ein Fall der vorhergesagten Wahrscheinlichkeitsverteilung ausgewählt wurde.

Es ist dasselbe wie beim Würfeln. Sobald die Würfel fallen, hat es keinen Sinn, von den anderen wahrscheinlichen Werten zu sprechen, die ebenfalls auftauchen könnten. Man muss viele Male würfeln, um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu erhalten, die, wie Sie wissen müssen, flach ist. Viele Elektronen auf den Schirm zu werfen, zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Auffinden des Elektrons bei (x,y,z) und lo, es zeigt das Interferenzmuster, das der Wellenfunktion innewohnt, die das spezifische System beschreibt.

Was ich verwirrend finde, ist, dass jede Wellenfunktion als Vektor im Hilbert-Raum dargestellt werden kann,

Es ist einfacher, in Wellenfunktionslösungen der Schrödinger- oder Dirac-Gleichungen zu denken. Wenn Sie an Hilbert-Räume denken, ignorieren Sie Randbedingungen , die einen Versuchsaufbau von einem anderen unterscheiden.

und ich kann nicht sehen, wie man sagen könnte, dass ein Vektor mehr "Informationen" trägt als ein anderer. Sie sind nur Vektoren.

Randbedingungen nehmen eine Teilmenge des Hilbert-Vektorraums auf.

Andererseits scheint es offensichtlich, dass die letzte Beobachterin mehr Informationen hat als die anfängliche, da sie eine Messaufzeichnung mehr hat.

Bitte beachten Sie, dass es keinen Anfangs- und Endbeobachter geben kann, ohne Wechselwirkungen einzuführen, dh sich ändernde Randbedingungen: Beobachtung bedeutet Wechselwirkung. Jedes Elektron ist Teil eines Strahls und wird am Bildschirm, wo es wechselwirkt, eindeutig beobachtet, und seine Wellenfunktion ergibt einen der Werte gemäß der es beschreibenden Wahrscheinlichkeitsverteilung, dies wird Kollaps genannt. Auf dem Bildschirm verliert das Elektron seine Energie in der Wechselwirkung, um den gesehenen Punkt zu ergeben, und es ist eine völlig andere Wellenfunktion und Randbedingungen, die es von da an beschreiben würden.