Wie erhält man eine Funktion für die Spannung an einem Kondensator, der an eine Wechselspannungsquelle angeschlossen ist? [geschlossen]

Ich suche nach dem Weg, um eine Lösung für zu erhalten$V_{c}$,als Funktion von$t$abhängig von$\omega$, der folgenden Differentialgleichung bezogen auf einen elektrischen Schaltkreis mit einem Tiefpassfilter :$\frac{ d V_{c}(t)}{d{t}} + \frac{V_{c}(t)}{\tau} = \frac{V_{s}(t)}{\tau}$.

Wo,$V_{c}$ist die Spannung über der Kapazität,$V_{s}$ist die von der Wechselspannungsquelle gelieferte Spannung,$\tau$ist die Zeitkonstante,

bedenkt, dass,

$\tau = R C$,

$V_{s} = V_{in} \sin{( \omega t )}$,

$I_{R} = I_{C} = \frac{V_{s}(t) - V_{c}(t)}{R} = C \frac{dV_{c}(t)}{dt}$.

Ich näherte mich dem Problem, indem ich zuerst den homogenen Teil ($\frac{ d V_{c}(t)}{d{t}} + \frac{V_{c}(t)}{\tau} = 0$) und für die ich die folgende Lösung bekomme:$V_{c}(t) = K e^{\frac{-t}{\tau}}$(Wo$K$ist eine Konstante).

Ich muss jetzt die bestimmte Lösung finden (um die allgemeine Lösung zu erhalten:$S_{general} = S_{homogeneous} + S_{particular}$). Ich denke, die spezielle Lösung könnte von der Art sein:$V_{c}(t) = A \cos{(\omega t + \phi)}$.

Bearbeiten : Sobald ich die jeweilige Lösung in der Gleichung ersetze, komme ich auf etwas, je nachdem$\omega$,$\phi$Und$\frac{A}{V_{in}}$, aber ich sehe nicht, wie ich die Summenfunktion Summenformeln weiter verwenden soll.