Wie erhalte ich das Chandrasekhar-Limit aus einem Plot?

Um die Masse-Radius-Beziehung für einen (nicht rotierenden) Stern im Allgemeinen zu finden, löst man die Gleichungen für das hydrostatische Gleichgewicht (Newton für Weiße Zwerge, allgemeine Relativistik für Neutronensterne) mit einer Zustandsgleichung$\epsilon(P)$, die die Energiedichte mit dem Druck in Beziehung setzt. Sie können dann die Masse durch finden

$$M(r) = \int_0^r dr \ 4\pi r^2\epsilon(r),$$ das ist die im Radius enthaltene Masse $r$. Die Masse $M = M(R)$eines bestimmten Sterns (mit Radius $R$kann durch die Energiedichte im Zentrum parametrisiert werden $\epsilon_c = \epsilon(0)$. Es kann dann gezeigt werden, dass stabile Sterne diejenigen sind, die gehorchen $$\frac{\partial M}{\partial\epsilon_c} \geq 0.$$ Somit ist die Grenzmasse eines Sterns ein lokales Maximum der Masse als Funktion der zentralen Dichte (wenn es ein lokales Minimum wäre, könnte der Stern massiver werden und immer noch stabil sein). Die Lösung der hydrostatischen Gleichgewichtsgleichungen ermöglicht es Ihnen auch, die Masse-Radius-Beziehung zu bestimmen, und mit der Kenntnis der Grenzmasse sagt Ihnen dies, wie groß der Radius des Sterns mit der größten Masse ist, der dieser Zustandsgleichung unterliegt.

Wie bereits angemerkt wurde, hat die Masse-Radius-Beziehung außer bei extrem speziellen Modellen, die überhaupt nicht genau sein müssen, was wir beobachten, keine analytische Form. Aber das bedeutet nicht, dass es nicht geplottet werden kann. Sie haben selbst gesagt, dass Sie die Lane-Emden-Gleichung numerisch gelöst haben. Das ist keine analytische Lösung, aber Sie können es trotzdem darstellen. Im Allgemeinen besteht ein Ansatz für einen Weißen Zwerg mit einer polytropen Zustandsgleichung darin, die Lane-Emden-Gleichung zu lösen, Ihre Lösung zu nehmen und sie wieder in physikalische Variablen umzuwandeln und dann dem oben erwähnten Verfahren zu folgen, das Ihnen sagt, was das Maximum ist Masse ist.

Mit einem Diagramm wie in der Frage können Sie die maximale Masse einfach als größte Masse auf der Kurve ablesen. Sie (sollten) wissen, dass die Weißen Zwerge mit der größten Masse relativistische Elektronen haben, also schauen Sie sich diesen Ast für die größte Masse an und Sie sehen, dass er etwa 1,4 Sonnenmassen hat.