Wie finde ich die linearen Komponenten der Beschleunigung in einem Pendel?

Question

Wie finde ich die linearen Komponenten der Beschleunigung in einem Pendel?

Andreas C

Ich habe es geschafft, die Bewegungsgleichung eines einfachen Pendels unter dem Einfluss der Schwerkraft mit der Lagrange-Funktion herzuleiten, aber da mir das nur sagt, was die Winkelbeschleunigung ist, möchte ich jetzt die herleiten $x$ Und $y$ Komponenten der Beschleunigung. Die von mir abgeleitete Formel lautet wie folgt:

\ddot{θ} = - (G / l) Sünde θ

$\ddot θ = -(g/l)\sinθ$

Und das $x$ Und $y$ sind diese:

X = l Sünde θ

$x = l\sinθ$

j = l (1 - \cos θ)

$y = l(1-\cosθ)$

Also bin ich mir jetzt nicht sicher, was ich als nächstes tun soll ... Wende ich die Kettenregel an und differenziere $x$ Und $y$ in Bezug auf die Zeit zweimal? ich weiß echt nicht was ich hier machen soll...

Wenn Sie können, geben Sie mir bitte einen Hinweis anstelle einer vollständigen Lösung und halten Sie sich, wenn möglich, an diese Formeln und Euler-Lagrange-Gleichungen, anstatt an eine Lösung, die etwas enthält, das nicht direkt damit zusammenhängt.

QuantumBrick

Anstatt die Lagrange-Parametrisierung als Funktion von zu schreiben

θ

$\theta$ , versuchen Sie es in kartesischen Koordinaten zu schreiben

x

$x$ Und

y

$y$ . Die EL-Gleichungen geben Ihnen dann die Beschleunigung entlang jeder Achse. Eine andere Möglichkeit ist das Umschreiben

l

$l$ Und

θ

$\theta$ bezüglich

x

$x$ Und

y

$y$ .

Andreas C

Hmm ... Wie würde ich l in Bezug auf x und y umschreiben, da l eine von x und y unabhängige Konstante ist? Ich werde versuchen, die Lagrange-Funktion zu bestimmen, wie Sie es gesagt haben, um zu sehen, ob es funktioniert.

QuantumBrick

Sehen Sie sich die Formeln, die Sie geschrieben haben, noch einmal an. Denken Sie daran, dass in kartesischen Koordinaten

L = \frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}) - V (x, y)

$L = \frac{1}{2} m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) - V(x,y)$ .

Andreas C

Ja, und V=mgy. Wenn ich versuche, die partielle Ableitung von L in Bezug auf x zu finden, ist es nur 0, und aus den EL-Gleichungen folgt, dass die x-Komponente der Beschleunigung auch 0 ist, aber das macht nicht viel Sinn, oder?

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Wie finde ich die linearen Komponenten der Beschleunigung in einem Pendel?

Anstatt die Lagrange-Parametrisierung als Funktion von zu schreiben $\theta$ , versuchen Sie es in kartesischen Koordinaten zu schreiben $x$ Und $y$ . Die EL-Gleichungen geben Ihnen dann die Beschleunigung entlang jeder Achse. Eine andere Möglichkeit ist das Umschreiben $l$ Und $\theta$ bezüglich $x$ Und $y$ .
Hmm ... Wie würde ich l in Bezug auf x und y umschreiben, da l eine von x und y unabhängige Konstante ist? Ich werde versuchen, die Lagrange-Funktion zu bestimmen, wie Sie es gesagt haben, um zu sehen, ob es funktioniert.
Sehen Sie sich die Formeln, die Sie geschrieben haben, noch einmal an. Denken Sie daran, dass in kartesischen Koordinaten $L = \frac{1}{2} m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) - V(x,y)$ .
Ja, und V=mgy. Wenn ich versuche, die partielle Ableitung von L in Bezug auf x zu finden, ist es nur 0, und aus den EL-Gleichungen folgt, dass die x-Komponente der Beschleunigung auch 0 ist, aber das macht nicht viel Sinn, oder?

John Alexiou · Answer 1

Alles ist eine Funktion des Winkels $\theta$ und seine Derivate $\dot{\theta}$ Und $\ddot{\theta}$ . Verwenden Sie von dort aus die Kettenregel der Differentiation.

\begin{aligned} X & = ℓ Sünde θ & j & = ℓ (1 - \cos θ) \\ \dot{X} & = ℓ \dot{θ} \cos θ & j & = ℓ \dot{θ} Sünde θ \\ \ddot{X} & = ℓ \ddot{θ} \cos θ - ℓ {\dot{θ}}^{2} Sünde θ & \ddot{j} & = ℓ \ddot{θ} Sünde θ + ℓ {\dot{θ}}^{2} \cos θ \end{aligned}

$\begin{align} x & = \ell \sin \theta & y & = \ell (1-\cos \theta) \\ \dot{x} & = \ell \dot{\theta} \cos \theta & y & = \ell \dot{\theta} \sin \theta \\ \ddot{x} & = \ell \ddot{\theta} \cos\theta -\ell \dot{\theta}^2 \sin\theta & \ddot{y} & = \ell \ddot{\theta} \sin \theta + \ell \dot{\theta}^2 \cos\theta \end{align}$

Danke, so kompliziert war es doch nicht! Es macht jetzt absolut Sinn!
Um die Winkelgeschwindigkeit zu finden, integriere ich auch einfach die Winkelbeschleunigung einmal in Bezug auf die Zeit. Eine der Grenzen (oder Grenzen, ich weiß nicht, wie Sie sie auf Englisch nennen) dieser Integration wird die Amplitude sein. Was wird der andere sein? Die Phase?
Oh, äh ... Vergiss es, ich glaube, ich habe es herausgefunden ...

valerio · Answer 2

Wie Sie bemerkt haben, verwenden wir die Euler-Lagrange-Gleichung $L= \frac 1 2 (\dot x^2 + \dot y^2) -mgy$ wir bekommen

\ddot{X} = 0

$\ddot x=0$

\ddot{j} = - G

$\ddot y = -g$

Etwas fehlt eindeutig: Die Schwerkraft ist nicht die einzige Kraft, die auf unsere Masse wirkt: Wir müssen die Spannung der Stange / Saite berücksichtigen. Aber warum geht das nicht aus den Gleichungen hervor?

Der Punkt ist, dass das System nur einen Freiheitsgrad hat: $\theta$ . Wenn wir verwenden $x$ Und $y$ wir verwenden den Lagrange-Formalismus, als ob er zwei hätte. Aber das tut es nicht: Ein Freiheitsgrad wird von der Beschränkung weggenommen $x^2+y^2=l^2$ . Die übliche Formulierung der EL-Gleichung wird also nicht richtig funktionieren.

Das war der Hinweis. Wenn Sie die Lösung wollen, finden Sie sie hier: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newtonhtml/node90.html

Huh ... Ok, das macht sehr viel Sinn, danke. Ich weiß jetzt, dass die Verwendung der Lagrange-Funktion auf diese Weise nicht die Lösung ist. Ich möchte jedoch keine vollständige Lösung und weiß immer noch nicht, wo ich anfangen soll ... Hmmm ... Ich habe darüber nachgedacht, x und y zweimal in Bezug auf die Zeit zu differenzieren, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das machen soll Das...
Wenn du willst $x$ Und $y$ Komponenten der Beschleunigung ohne Verwendung von EL-Gleichungen und nicht als Funktion von $\theta$ , können Sie versuchen, den Ausdruck, den Sie geschrieben haben, zweimal in Bezug auf die Zeit zu differenzieren und dann den endgültigen Ausdruck einzusetzen $\theta = \arctan(x/y)$ .
Oh, aber das möchte ich tun, es ist nur so, dass ich nicht weiß, wie ich l * sinθ in Bezug auf die Zeit differenzieren soll ... Außerdem, wenn ich die x- und y-Komponenten der Beschleunigung als Funktionen von θ bekomme, nun, das ist ganz gut von mir, ich weiß nur nicht, wie das geht!
Oh, okay! Ich dachte, Sie wüssten, wie das geht, und Sie versuchten etwas Komplizierteres... ;-)
Ah, nein ... Ich habe gerade herausgefunden, wie es geht, jetzt ist es in Ordnung. Jetzt muss nur noch θ als Funktion der Zeit gefunden werden, aber ich glaube, ich weiß, wie das geht.

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