Wie füge ich zwei ebene Wellen hinzu, wenn sie sich in verschiedene Richtungen ausbreiten?

Im Grundstudium über die Welle wurde angegeben, dass für zwei harmonische Wellen, die sich in entgegengesetzter Richtung ausbreiten, die resultierende Welle eine stehende Welle ist. In Mathe ist es wie

y 1 = Eine Sünde ( k x + ω t ) , y 2 = Eine Sünde ( k x - ω t ) y 1 = EIN Sünde ⁡ ( k x + ω t ) , y 2 = EIN Sünde ⁡ ( k x - - ω t )

so

y = y 1 + y 2 = Eine Sünde ( k x + ω t ) + A sin ( k x - ω t ) = 2 A sin ( k x ) cos ( ω t ) y = y 1 + y 2 = EIN Sünde ⁡ ( k x + ω t ) + EIN Sünde ⁡ ( k x - - ω t ) = 2 EIN Sünde ⁡ ( k x ) cos ⁡ ( ω t )

Ich denke, was passiert, wenn sich die beiden ebenen Wellen in zwei verschiedenen Richtungen ausbreiten (sagt Winkel machen 60 Grad, dh die beiden Wellen machen). Ich weiß, wenn das der Fall ist, können wir nicht schreiben k x k x aber wir müssen das berücksichtigen k k ist ein Vektor, so dass

y 1 = Eine Sünde ( k ⃗ ⋅ r ⃗ + ω t ) , y 2 = Eine Sünde ( k ⃗ ⋅ r ⃗ - ω t ) y 1 = EIN Sünde ⁡ ( k → ⋅ r → + ω t ) , y 2 = EIN Sünde ⁡ ( k → ⋅ r → - - ω t )

Aber wenn wir die horizontale Richtung (dh x) und die vertikale Richtung (dh y) betrachten, was können wir über die resultierende Welle entlang x und entlang y sagen? Ich denke aus physikalischer Sicht, wenn wir die horizontale Richtung betrachten, sollten sich die Wellen immer noch zu einer stehenden Welle addieren, weil sich die x-Komponenten der Wellen in entgegengesetzter Richtung ausbreiten. In vertikaler Richtung breiten sich die y-Komponenten der Wellen jedoch in derselben Richtung aus, sodass keine stehende Welle vorhanden ist. Ist das korrekt? Wenn ja, wie kann man das in Mathe beweisen? Der Begriff k ⃗ ⋅ r ⃗ k → ⋅ r → ist sehr verwirrend!

Benutzen k ⃗ ⋅ r ⃗ = | k | | r | cos θ k → ⋅ r → = | k | | r | cos ⁡ θ wo θ θ ist der Winkel zwischen den Wellen.
Ich denke die 2 Wellen sollten sein y 1 = Eine Sünde ( k ⃗ ⋅ r ⃗ + ω t ) e ⃗ k ⃗ y 1 = EIN Sünde ⁡ ( k → ⋅ r → + ω t ) e → k → und y 2 = Eine Sünde ( q ⃗ ⋅ r ⃗ + ω t + ϕ ) e ⃗ q ⃗ y 2 = EIN Sünde ⁡ ( q → ⋅ r → + ω t + ϕ ) e → q →

Antworten (3)

Die Frage ist unklar, aber ich glaube, kann zusammengefasst werden als "Können sich stehende Wellen aus ebenen Wellen bilden, die sich in einem beliebigen Winkel zueinander ausbreiten?"

Eine stehende Welle ist am einfachsten in einer Dimension zu verstehen und kann durch die Gleichung beschrieben werden.

u = A cos ( k x ) cos ( ω t ) u = EIN cos ⁡ ( k x ) cos ⁡ ( ω t )

Es handelt sich um eine einfache Produkt-Summen-Trigger-Identität, die auf dieser Seite zu finden ist und die stehende Welle mit den Wellen in Beziehung setzt, die sich in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten.

2 A cos ( k x ) cos ( ω t ) = A [ cos ( k x - ω t ) + cos ( - k x - ω t ) ] 2 EIN cos ⁡ ( k x ) cos ⁡ ( ω t ) = EIN [ cos ⁡ ( k x - - ω t ) + cos ⁡ ( - - k x - - ω t ) ]]

In einer skalaren Formulierung ist es zweckmäßig, die positive und negative Ausbreitungsrichtung durch das Negative zu definieren ω t ω t . Da arbeiten wir in einer Vektorformulierung mit k k Es ist einfacher, die Richtung durch das Schild anzuzeigen k k . Es könnte auch eine beliebige Phase geben.

Um zu zeigen, dass so etwas wie eine stehende Welle in zwei Dimensionen auftreten kann (leicht auf drei Dimensionen verallgemeinerbar), ist es einfacher, komplexe Exponentiale zur Darstellung der Wellen zu verwenden. Addieren der beiden Wellen (q ist die Wellenzahl der zweiten Welle):

A e i ( k ⋅ r - ω t ) + A e i ( q ⋅ r - ω t ) = A e ich k y y e i ( k x x - ω t ) + A e i q y y e i ( q x x - ω t ) EIN e ich ( k ⋅ r - - ω t ) + EIN e ich ( q ⋅ r - - ω t ) = EIN e ich k y y e ich ( k x x - - ω t ) + EIN e ich q y y e ich ( q x x - - ω t )
Wenn die y-Komponente der Wellenzahl für beide Wellen identisch ist, kann die y-Komponente mit der Amplitude kombiniert werden, um eine komplexe Amplitude zu bilden, die beiden Wellen gemeinsam ist, wobei die Phase von y abhängt.
A e ich k y y ( e i ( k x x - ω t ) + e i ( q x x - ω t ) ) EIN e ich k y y ( e ich ( k x x - - ω t ) + e ich ( q x x - - ω t ) )
Zurückkehren zu einer Triggerdarstellung und Ignorieren der y-abhängigen Phase:
A [ cos ( k x x - ω t ) + c o s ( q x x - ω t ) ] EIN [ cos ⁡ ( k x x - - ω t ) + c Ö s ( q x x - - ω t ) ]]
Sie sollten erkennen können, dass dies eine stehende Welle ist, wenn die x-Komponenten der Wellenzahl gleich groß sind, jedoch in entgegengesetzter Richtung. Dies legt nahe, dass zwei ebene Wellen mit gemeinsamer Phase, die die gleiche Wellenzahlamplitude haben, tatsächlich eine stehende Welle erzeugen, wenn sie innerhalb einer bestimmten Ebene betrachtet werden.

Hallo David, danke für die ausführliche Erklärung. Ich weiß, dass diese Frage vage sein kann, da sie für mich ziemlich verwirrend ist, wenn ich die Frage schreibe. Wie auch immer, Ihre Mathematik sieht ziemlich einfach aus, um die y-Komponente mit der Amplitude zu kombinieren. Da Sie komplexe Zahlen verwenden, denke ich, betrachten wir im realen physischen Fall nur den realen Teil, richtig? Die Welle sollte also so aussehen A ∗ cos ( k y y ) [ cos ( k x x - ω t ) + cos ( k x x + ω t ) ] EIN ∗ cos ⁡ ( k y y ) [ cos ⁡ ( k x x - - ω t ) + cos ⁡ ( k x x + ω t ) ]] Es ist also eine stehende Welle entlang der x-Richtung, aber die Amplitude ist y-abhängig anstatt konstant. Verstehe ich es richtig
Also, wenn ich zwei Sinuswellen (mit der gleichen Größe des Wellenvektors), die sich auf der xy-Ebene ausbreiten und 60 Grad miteinander machen, dh zuerst k ⃗ k → 60 Grad mit dem positiven x machen, ein anderes k ⃗ k → Wenn ich mit dem positiven x 120 mache, was soll ich sehen, wenn ich es visualisiere? Sollte ich eine stehende Welle auf der x-Achse mit der Amplitude A sehen (da auf der x-Achse y = 0 ist, also cos ( k y y ) = 1 cos ⁡ ( k y y ) = 1 . Also ist das der Fall, was ist das? cos ( k y y ) cos ⁡ ( k y y ) wirklich beeinflussen?
Sie müssen vorsichtig sein, wie und wann Sie die reale Portion einnehmen. Wenn Sie eine komplexe Funktion verwenden, um reale Phänomene zu modellieren, und eine Gleichung wie (komplexe Funktion) x (andere komplexe Funktion) = (komplexe Antwort) haben, müssen Sie den realen Teil der endgültigen Antwort nehmen und keinen von die Zwischenschritte. Wenn Sie komplexe Exponentiale multiplizieren, ist der einzige Effekt eine Phasenänderung. Es kann keine Änderung der Amplitude erzeugen, wie Sie es beschrieben haben.
Es ist ziemlich verwirrend, wenn man Dinge in komplexen Situationen erklärt. Ich möchte nur wissen, ob ich zwei Wellen wie oben beschrieben habe. Soll ich eine horizontale stehende Welle sehen (entlang x und y = 0)?
Entschuldigung, meine ursprüngliche Schlussfolgerung war falsch. Ich habe es behoben. Sie werden tatsächlich so etwas wie eine stehende Welle sehen, solange der Winkel zwischen den beiden Wellen nicht 0 ist.

Die andere Antwort ist gut, aber dies könnte Ihnen helfen, das Ergebnis zu visualisieren. Es ist einfach, Visualisierungen zu erstellen, wenn Sie Zugriff auf ein Paket wie Mathematica haben (Sie können dies auch mit Python + Matplotlib, Gnuplot oder Matlab oder so ziemlich allem tun). Ich habe Diagramme von zwei Wellen in 2D erstellt, von denen eine positiv ist x x Richtung und die andere in einem Winkel gehen θ θ im Verhältnis zu x x Achse. Die Amplituden, Wellenlängen und Frequenzen sind gleich. Hier ist der Code: 

 wave1[x_, y_, t_] := Sin[x - t]; wave2[x_, y_, t_, \[Theta]_] := Sin[Cos[\[Theta]] x + Sin[\[Theta]] y - t]; frames[\[Theta]_] := frames[\[Theta]] = Table[Plot3D[wave1[x, y, t] + wave2[x, y, t, \[Theta]], {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, PlotLabel -> "\[Theta] = " <> ToString[\[Theta]]], {t, 0, 10}]; Table[Export["twowaves_\[Theta]_" <> ToString[\[Theta]] <> ".gif", frames[\[Theta]]], {\[Theta], 0, 2 \[Pi], 0.5}]

Ausgewählte Diagramme unten gezeigt. Beachten Sie, dass sich die Summe der Wellen vereinfacht

Sünde ( x - t ) + sin ( cos ( θ ) x + sin ( θ ) y - t ) = 2 cos ( 1 2 x ( cos θ - 1 ) + 1 2 y Sünde θ ) sin ( 1 2 x ( cos θ + 1 ) + 1 2 y Sünde θ - t ) . Sünde ⁡ ( x - - t ) + Sünde ⁡ ( cos ⁡ ( θ ) x + Sünde ⁡ ( θ ) y - - t ) = 2 cos ⁡ ( 1 2 x ( cos ⁡ θ - - 1 ) + 1 2 y Sünde ⁡ θ ) Sünde ⁡ ( 1 2 x ( cos ⁡ θ + 1 ) + 1 2 y Sünde ⁡ θ - - t ) .

Sie erhalten nur dann eine stehende Welle, wenn sich die räumliche und zeitliche Abhängigkeit trennt. Also brauchst du das x x und y y Begriffe in der Sünde Sünde verschwinden. Dafür braucht man cos θ = -1 cos ⁡ θ = - - 1 und Sünde θ = 0 Sünde ⁡ θ = 0 , die das Einzigartige hat (bis zu 2 π 2 π ) Lösung θ = π θ = π . Sie erhalten also nur stehende Wellen, wenn sich die beiden Wellen gegenläufig ausbreiten. Jeder andere Fall gibt Ihnen eine Wanderwelle (die Sünde Sünde Term) moduliert durch eine raumabhängige Amplitude (die cos cos Begriff).

Beide Wellen positiv x x Richtung:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Welle 2 geht leicht nach oben und rechts:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Welle 2 geht fast 90 Grad zu Welle 1:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Welle 2 fast gegenüber Welle 1:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Ich mag deine Visualisierungen, aber als Antwort steht sie nicht wirklich für sich selbst, was eine Schande ist. Einige zusätzliche Erklärungen darüber, was los ist und wie es sich auf die Frage bezieht, könnten dies wirklich zu einer großartigen Antwort machen.
Ich mache auch eine Simulation mit Matlab, aber warum ist diese auf Mathematica basierende Simulation keine stehende Welle?
@ user1285419 Siehe die Änderungen. Ich hoffe, das hilft.
Danke Michael. Es funktioniert jetzt. Darf ich fragen, welche Version von Mathematica Sie verwenden? Der Code funktioniert in meiner Mathematica 9 nicht wirklich. Aber ich versuche stattdessen Animate zu verwenden, er funktioniert, sieht aber nicht glatt aus.
Ich verwende Version 9 auf einem Midrange-Laptop. Ich habe ListAnimate verwendet, bevor ich die animierten Gifs exportiert habe. Die Anzeige im Notebook war nicht sehr flüssig, aber die exportierten Gifs waren in Ordnung. Mathematica hat wahrscheinlich nur ein extrem starkes Rendering-Frontend für Animationen, daher ziehe ich den Export vor.

Das erste, was Sie wahrscheinlich tun sollten, um Verwirrung zu vermeiden, ist, die Namen Ihrer Funktionen zu ändern. Mit y 1 y 1 und y 2 y 2 Es besteht die Möglichkeit, Dinge durcheinander zu bringen. Darüber hinaus ist die k ⃗ k → und r ⃗ r → Vektoren der ersten Funktion sollten sich von denen der zweiten Funktion unterscheiden. Also lasst uns definieren

f 1 ( r ⃗ , t ) f 2 ( r ⃗ , t ) = Sünde ( k ⃗ ⋅ r ⃗ + ω t ) = Sünde ( q ⃗ ⋅ r ⃗ - ω t ) f 1 ( r → , t ) = Sünde ⁡ ( k → ⋅ r → + ω t ) f 2 ( r → , t ) = Sünde ⁡ ( q → ⋅ r → - - ω t )

wo ich das gegeben habe k ⃗ k → Vektor der zweiten Funktion das Symbol q ⃗ q → , nur um später keine doppelten Indizes verwenden zu müssen. Beachten Sie auch, dass ich nicht zwischen dem unterschieden habe ω ω von beiden Funktionen, also nehmen wir das an | k ⃗ | = | q ⃗ | | k → | = | q → | . Zuletzt habe ich die Amplitude zur Vereinfachung der Notation verringert.

Anders geschrieben lauten die obigen Gleichungen (2D annehmen)

f 1 ( x , y , t ) f 2 ( x , y , t ) = Sünde ( k x x + k y y + ω t ) = Sünde ( q x x + q y y - ω t ) f 1 ( x , y , t ) = Sünde ⁡ ( k x x + k y y + ω t ) f 2 ( x , y , t ) = Sünde ⁡ ( q x x + q y y - - ω t )

Die Summe dieser Funktionen ergibt

f 1 + f 2 = Sünde ( k x x + k y y + ω t ) + sin ( q x x + q y y - ω t ) = 2 Sünde ( k x x + k y y + q x x + q y y 2 ) cos ( k x x + k y y + ω t - q x x - q y y + ω t 2 ) = 2 Sünde ( ( k x + q x ) x + ( k y + q y ) y 2 ) cos ( ( k x - q x ) x + ( k y - q y ) y + 2 ω t 2 ) = 2 Sünde ( ( k ⃗ + q ⃗ ) ⋅ r ⃗ 2 ) cos ( ( k ⃗ - q ⃗ ) ⋅ r ⃗ 2 + ω t ) f 1 + f 2 = Sünde ⁡ ( k x x + k y y + ω t ) + Sünde ⁡ ( q x x + q y y - - ω t ) = 2 Sünde ⁡ ( k x x + k y y + q x x + q y y 2 ) cos ⁡ ( k x x + k y y + ω t - - q x x - - q y y + ω t 2 ) = 2 Sünde ⁡ ( ( k x + q x ) x + ( k y + q y ) y 2 ) cos ⁡ ( ( k x - - q x ) x + ( k y - - q y ) y + 2 ω t 2 ) = 2 Sünde ⁡ ( ( k → + q → ) ⋅ r → 2 ) cos ⁡ ( ( k → - - q → ) ⋅ r → 2 + ω t )

Beachten Sie, dass sich dies auf den Fall einfacher stehender Wellen reduziert, wenn k ⃗ = q ⃗ k → = q → . Sie können dies mit der Summe umschreiben und ergeben (mit f = f 1 + f 2 f = f 1 + f 2 )

f = 2 Sünde ( ( k ⃗ + q ⃗ ) ⋅ r ⃗ 2 ) cos ( ω t ) [ cos ( ( k ⃗ - q ⃗ ) ⋅ r ⃗ 2 ) - tan ( ω t ) sin ( ( k ⃗ - q ⃗ ) ⋅ r ⃗ 2 ) ] f = 2 Sünde ⁡ ( ( k → + q → ) ⋅ r → 2 ) cos ⁡ ( ω t ) [ cos ⁡ ( ( k → - - q → ) ⋅ r → 2 ) - - bräunen ⁡ ( ω t ) Sünde ⁡ ( ( k → - - q → ) ⋅ r → 2 ) ]]

Aus beiden Ausdrücken geht hervor, dass stehende Wellen nur möglich sind, wenn die Wellenvektoren tatsächlich gleich sind. Wenn nicht, gibt es eine Modulation der stehenden Welle, die durch den Faktor zwischen der Klammer in der letzten Gleichung gegeben ist, was eine Funktion von beiden ist r ⃗ r → und t t . Der Grund, warum Ihr physisches Denken fehlgeschlagen ist, liegt in unserer Einschränkung | k ⃗ | = | q ⃗ | | k → | = | q → | . In der Tat der einzige Weg, auf dem eine stehende Welle entstehen könnte x x zB wäre wenn k x = q x k x = q x , aber weil | k ⃗ | = | q ⃗ | | k → | = | q → | das muss auch bedeuten k y = ± q y k y = ± q y und deshalb k ⃗ = q ⃗ k → = q → oder k ⃗ = p ⃗ k → = p → wo p ⃗ p → entspricht dem Minuszeichen. Dies p ⃗ p → -vector hat die gleiche Länge wie q ⃗ q → aber es macht einen Winkel von π - θ π - - θ mit dem positiven x x -Achse, wenn q ⃗ q → macht einen Winkel von θ θ .

Wenn wir diese Einschränkung nicht eingeführt hätten, hätten wir unterschiedliche Frequenzen berücksichtigen müssen ν ≠ ω ν ≠ ω weil ω / | k ⃗ | = c 1 = c = c 2 = ν / | q ⃗ | ω /. | k → | = c 1 = c = c 2 = ν /. | q → | muss halten. Dies hätte eine Abhängigkeit von ergeben t t auch für den Sinus in der vorletzten Gleichung, was stehende Wellen wieder unmöglich macht, es sei denn ω = ν ω = ν und ließ uns zurück in unsere Zwänge fallen. Der einzige Ausweg scheint zu sein, wenn c 1 ≠ c 2 c 1 ≠ c 2 , aber das ist keine physische Situation.

Hallo Wouter, danke für die ausführliche Erklärung, manchmal brauche ich, um die Mathematik zu wiederholen, aber es ist gut genug. Ich habe eine Frage: Wenn wir einen Wellenvektor haben, der in einem Winkel mit der x-Achse auf der xy-Ebene gerichtet ist, haben wir zwei Komponenten k x k x und k y k y wie du in der Mathematik gezeigt hast. Ich frage mich, ob die Welle in Bezug auf die Komponente auf der x- und y-Achse noch sinusförmig ist. Wenn ja, ist die Frequenz jeder Komponentenwelle ω ω ebenfalls?
Eine nützliche Sache, an die Sie sich erinnern sollten, wenn Sie herausfinden möchten, wie eine Funktion entlang der Seite aussieht x x - oder y y -Achse, ist das y = 0 y = 0 auf der x x -Achse und x = 0 x = 0 auf der y y -Achse. Wenn Sie setzen y = 0 y = 0 zum Beispiel in f 1 f 1 oder f 2 f 2 Sie sehen, es ist in der Tat immer noch eine sinusförmige Funktion mit Frequenz ω ω .
Vielen Dank für die Erklärung des Zweifels an der Frequenz. Ich arbeite die Mathematik aus, die Sie oben zeigen. Dort hast du angegeben wann k ⃗ = q ⃗ k → = q → reduziert es sich auf eine einfache stehende Welle. Ich denke, zwei Wellenvektoren gleich bedeuten nicht, dass sie sich in die gleiche Richtung ausbreiten, weil es so ist k ⃗ / ω k → /. ω Sagen Sie die Geschwindigkeit nicht die k ⃗ k → , richtig? Also, was ist die physikalische Bedeutung, als wir sagten k ⃗ = q ⃗ k → = q → ?
Tut mir leid, dass ich mich wieder darum kümmere, es ist ein bisschen verwirrend von der Mathematik. Nach meinem Verständnis, wenn wir annehmen | k ⃗ | = | q ⃗ | | k → | = | q → | schließen wir daraus k 2 x + k 2 y - - - - - - - - - - - - √ = k 2 y + q 2 y - - - - - - - - - - - - √ k x 2 + k y 2 = k y 2 + q y 2 aber impliziert es k x = q x k x = q x und k y = q y k y = q y ? Wenn nicht, woher wissen wir, dass die resultierende Welle einfach steht?
Nun, die physikalische Bedeutung des Wellenvektors k ⃗ k → ist, dass es uns die Richtung sagt, in die sich die Welle bewegt, und uns Informationen über die Wellenlänge gibt ( | k ⃗ | = 2 π / λ | k → | = 2 π /. λ ). Die Geschwindigkeit der Welle ist gegeben durch ω / | k ⃗ | ω /. | k → | aber seine Richtung wird bestimmt durch k ⃗ k → . Also wenn wir sagen k ⃗ = q ⃗ k → = q → es bedeutet in der Tat, dass sich die Wellen in die gleiche Richtung bewegen und darüber hinaus die gleiche Wellenlänge haben. Ich habe gerade einen kleinen Fehler bemerkt, den ich übrigens gemacht habe. ich habe | k ⃗ | ω = c | k → | ω = c während es sein sollte ω / | k ⃗ | ω /. | k → | . Ich werde das ändern.
Wie füge ich zwei ebene Wellen hinzu, wenn sie sich in verschiedene Richtungen ausbreiten?
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