Wie genau führt die Anwendung des Äquipartitionssatzes auf Strahlung zu einer UV-Katastrophe?

Das Problem, das Sie meiner Meinung nach haben, ist, dass Sie alles beweisen können, sobald Sie eine falsche Aussage annehmen. Alles, was Sie im zweiten Absatz gesagt haben, ist also wahr, wenn Sie das Problem klassisch behandeln. Sie haben Recht, dass jede elektromagnetische Stehwellenmode im Hohlraum keine Energie hätte, und daher gäbe es selbst bei endlicher Temperatur überhaupt keine elektromagnetische Energie.

Dies ist jedoch nicht die genaue Argumentationslinie, die der Autor beabsichtigt hat. Der Autor begründete dies wie folgt:

1. Aus Erfahrung wissen wir, dass dafür nur eine begrenzte Energiemenge benötigt wird$E$um die Temperatur eines hohlen Metallkastens (Strahlungshohlraum) um eine bestimmte Temperatur zu erhöhen$\Delta T$.

2. Wir wissen von Equipartition, dass diese Energie$E$muss gleichmäßig auf alle Moden des Resonators aufgeteilt werden

3. Da es unendlich viele Moden gibt, muss die Energie jeder Mode um zunehmen$E/\infty$, aber das ist null und daher wird kein Modus mehr Energie haben, nachdem die Temperatur erhöht wurde.

Diese ersten drei Punkte stimmen ziemlich genau mit dem überein, was er sagt. Dann denke ich, dass sein nächster Punkt ungefähr so ​​lautet

1. Wir wissen, dass, wenn wir Energie in einen Niederfrequenzmodus pumpen und warten, das System thermalisiert, so dass Energie in höhere Frequenzmodi übertragen wird.

2. Wir wissen aus Erfahrung, dass unser Hohlraum auch nach der Thermalisierung Strahlung aussendet.

3. Aufgrund der Gleichverteilung erwarten wir, dass ein Großteil der Strahlung bei höheren Frequenzen auftritt. Dies widerspricht der Erfahrung, da wir niemals einen schwarzen Körper bei Raumtemperatur sehen, der Röntgenstrahlen aussendet.

Nun wurde mir die UV-Katastrophe folgendermaßen beigebracht. Wir versuchen, die Gesamtenergie herauszufinden$E$des Systems bei Temperatur$T$. Dies ist die Summe aller Modi$\nu$der Energie in diesem Modus$E_\nu$. Da gibt es Modi mit beliebig hoch$\nu$, diese Summe ist eigentlich unendlich, kann also als Grenzwert geschrieben werden:

$$E = \lim_{\nu^* \to \infty} \sum_{\nu=0}^{\nu^*} E_\nu.$$ Jetzt klassisch jeder $E_\nu$sollte einfach sein $kT$, so dass unsere Gleichung wird $$E = \lim_{\nu^* \to \infty} \sum_{\nu=0}^{\nu^*} kT = \lim_{\nu^* \to \infty} kT N(\nu < \nu^*),$$ Wo $N(\nu < \nu^*)$ist die Anzahl der Moden mit der Frequenz $\nu$weniger als $\nu^*$. Jetzt, wenn $\nu^*$wird immer höher (ins Ultraviolett) geschoben, $N(\nu < \nu^*)$nimmt unbegrenzt zu, so dass die Abschätzung der Gesamtenergie $E$wird immer größer. Die Tatsache, dass $E$scheint unendlich zu werden, wenn Sie setzen $\nu^*$Immer tiefer ins Ultraviolett, deshalb wird es die Ultraviolett-Katastrophe genannt.

So, jetzt haben Sie die Ultraviolett-Katastrophe erklärt gesehen. So wie der Autor es erklärte, nahm er eine endliche Gesamtenergie an und teilte diese Energie auf eine unendliche Anzahl von Moden auf, um null Energie pro Mode zu erhalten. Ich würde sagen, Katastrophe mit "verschwindender Energie" ist ein guter Name dafür. Ich erklärte es so, dass ich eine konstante endliche Energie pro Modus annahm und die Energie divergierte, wenn immer höhere Frequenzen berücksichtigt wurden. Es ist sinnvoller, dies die UV-Katastrophe zu nennen. Auf jeden Fall ist klar, dass etwas nicht stimmt.

Die Rayleigh-Jeans-Verteilung für die Schwarzkörperstrahlung (basierend auf der klassischen Gleichverteilung der Energie) divergiert mit zunehmender Frequenz .

Dies geschieht, weil die kontinuierlich angenommenen Energiefreiheitsgrade zu dieser Art von Verteilungsfunktion führen.

Die klassische Gleichverteilung ordnet jedem Freiheitsgrad eine durchschnittliche Energie gleich zu$kT$

Ableitung der Rayleigh-Jeans-Verteilung

1. Nehmen Sie einen kubischen Hohlraum der Länge an$L$, treten bei Strahlung einer Wellenlänge stehende Wellen auf$\lambda$nur dann, wenn eine ganzzahlige Anzahl von Halbwellenperioden in ein Intervall im Würfel passen. Bei Abstrahlung parallel zu einer Würfelkante ist dies erforderlich$\lambda = 2L/m$

2. Frequenz ist$ν = cm/(2L)$, Wellenzahl ist$q = 2πν/c$, für den Würfel$q^2 = \pi^2(m/L)^2$

3. Lassen$m_x$ $m_y$ $m_z$die ganzen Zahlen für die drei verschiedenen Richtungen im Würfel bezeichnen, dann ist die Bedingung für eine stehende Welle im Würfel:$m_c^2 + m_y^2 + m_z^2 = 4L^2ν^2/c^2$

4. Das Volumen einer Kugelschale mit Innenradius$R$und Außenradius$R+dR$wird gegeben von:$dV = 4\pi R^2dR$, Wenn$R^2 = m_x^2+m_y^2+m_z^2$Dann$dR=2Ldν/c$

5. So$dV = 4\pi(2Lν/c)^2(2L/c)dν = 32\pi(L^3ν^2/c^3)dν$

6. Für den dreidimensionalen Fall sind die nichtnegativen Kombinationen (von$m_x,m_y,m_z$) machen ungefähr einen Oktant der Gesamtzahl aus. Also die Nummer$dN$für die nichtnegativen Kombinationen von ($m_x,m_y,m_z$) in diesem Band ist gleich$\frac{1}{8}dV$und daher$dN = 4\pi ν^2dν$

7. Die durchschnittliche kinetische Energie pro Freiheitsgrad ist$\frac{1}{2}kT$. Für harmonische Oszillatoren gibt es eine Gleichheit zwischen kinetischer und potentieller Energie, also die durchschnittliche Energie pro Freiheitsgrad$kT$. Die durchschnittliche Strahlungsenergie$E$pro Frequenzeinheit ist gegeben durch:$dE/dν = kT(dN/dν) = 4\pi kT(L^3/c^3)ν^2$und die durchschnittliche Energiedichte,$u_ν$, ist gegeben durch:$du_ν/dν = (1/L^3)(dE/dν) = 4\pi kTν^2/c^3$

8. Für zwei Polarisationsrichtungen ein Faktor von$2$enthalten sein müssen:$du_ν/dν = 8\pi kTν^2/c^3$

Planck löste dies , indem er annahm, dass Energie quantisiert und in Quanten ausgetauscht wird (also nicht klassisch) mit dieser Formel ^{1 , 2}

was die richtige Verteilung herleitet

Verweise:

1. M. Planck , 1900 Über eine Verbesserung der Wienschen Gleichung für das Spektrum
2. M. Planck , Annalen der Physik, vol. 4, p. 553 ff (1901) Zum Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum