Was war Plancks Motivation für die Frequenzabhängigkeit in E=nhνE=nhνE=nh\nu?

Viele Berichte über die Geschichte der Quantenphysik erklären, wie Planck in einem „Akt der Verzweiflung“ auf die Quantisierung von Energie zurückgriff, als er versuchte, die Strahlung eines schwarzen Körpers zu lösen, nur um dann überraschend zu entdecken, dass ein Wert ungleich Null von H In E = N H v reproduzierte Versuchsergebnisse.

  1. Was war Plancks Motivation hinter der v Abhängigkeit in diesem Ausdruck?
  2. Hat die klassische Physik Hinweise auf diese Frequenzabhängigkeit gegeben?

Einstein verwendete dieselbe Beziehung, um den photoelektrischen Effekt zu erklären, aber das kam später.

Um schließlich zu betonen, warum ich diese Frage habe, betrachten Sie diese scheinbar widersprüchlichen Tatsachen:

  • Planck behandelte die quantisierten EM-Wellen als harmonische Oszillatoren. Die Beziehung zwischen Energie und Frequenz für einen klassischen harmonischen Oszillator hat jedoch eine quadratische Abhängigkeit: E = 1 2 M ω 2 A 2 = 2 π 2 M v 2 A 2 , Wo A ist die Amplitude.
  • In der klassischen elektromagnetischen Theorie hat die durchschnittliche Energiedichte einer ebenen Welle im Vakuum keine Frequenzabhängigkeit: u = 1 2 ϵ Ö E Ö 2 , Wo E Ö ist die Amplitude des elektrischen Feldanteils der Welle.
  • Postulieren ist leicht vorstellbar E = N H als erster Versuch, Energie zu quantisieren. Der N Teil dieses Ausdrucks ist das Quantisierungsstück, das eine neue Idee war, die ich als hoffnungsvolle Vermutung oder mathematischen Trick verstehen kann – aber das v Teil scheint a priori unmotiviert, und dies wird in keiner der Quellen, die ich durchgesehen habe, angesprochen.
H hat keine Energieeinheiten. Damit die Dimensionen funktionieren, müssen Sie sie mit etwas mit 1/Zeiteinheiten multiplizieren.
Aber dies war der erste Auftritt von H , also stand es ihm frei, ihr die Einheiten zuzuweisen, die die Gleichung verlangt hätte.
In erster Näherung: weil es funktioniert hat. Planck hatte bereits einen analytischen Ausdruck, der gut zu den experimentellen Ergebnissen passte, und diese Hypothese ermöglichte es ihm, sie auf irgendeine Art von Grundlage abzuleiten. In dieser Phase war das genug.
Ich habe irgendwo gelesen, dass Planck versucht hat, herauszufinden, wie man die Tatsache beheben kann, dass die klassische Analyse der Schwarzkörperstrahlung zu einer unendlichen emittierten Leistung führt. Er fand heraus, dass die Diskretisierung der Energie in jedem Modus zu einer nicht divergierenden Leistung führte, also rannte er damit. Angeblich sah er dies als einen Akt der Verzweiflung an, weil er keinen physischen Grund hatte zu glauben, dass die Energie diskret sein sollte.

Antworten (1)

In Plancks Originalarbeit ( http://myweb.rz.uni-augsburg.de/~eckern/adp/history/historic-papers/1901_309_553-563.pdf ) postuliert er zunächst, dass die gesamte innere Energie einer Gruppe von Oszillatoren könnte ein ganzzahliges Vielfaches eines "Energieelements" sein ϵ . Unter Verwendung dieser Annahme stellt er fest, dass die Entropie pro Oszillator einer Sammlung von Oszillatoren ungefähr sein sollte

S = k [ ( 1 + U ϵ ) Protokoll ⁡ ( 1 + U ϵ ) − U ϵ Protokoll ⁡ U ϵ ]

Gleichzeitig sagt das damals bekannte Wiensche Gesetz voraus, dass die Entropie pro Oszillator die folgende funktionale Form annehmen sollte:

S = F ( U v )

für irgendeine Funktion F . Planck verglich diese beiden Ausdrücke und stellte fest, dass die statistische Mechanik und das Wiensche Gesetz nur dann konsistent sein können, wenn

ϵ = H v

für einige konstant H .

Kurz gesagt, er begann mit der Annahme, dass Energie quantisiert sei. Die Abhängigkeit des Energiequantums von der Frequenz war erforderlich, um mit dem Wienschen Gesetz übereinzustimmen.

Danke! Das ist sehr konkret und hilfreich. Meine einzige verbleibende Neugier ist, hat dieses Ergebnis eine klassische Analogie? Oder ist es ein völlig axiomatisches Stück Quantentheorie mit experimenteller Motivation (Wiensches Gesetz), aber ohne theoretischen Ursprung?
@WillG Wonach suchen Sie speziell in einer "klassischen Analogie"? Und die Quantisierung von Energie ist in den meisten Behandlungen der Quantentheorie nicht gerade axiomatisch. Das Axiom, von dem es abgeleitet wird, ist entweder die Definition der Zeitentwicklung durch die Schrödinger-Gleichung oder die Kommutierungsbeziehung zwischen Ort und Impuls. Logischerweise gibt es hier keine Einigung darüber, "was zuerst kommt", weil Sie weitgehend frei sind, beliebige Axiome zu wählen, die Experimente erklären. ( hsm.stackexchange.com/questions/3184/… ).
Wenngleich E = H v kann streng aus der Schrödinger-Gleichung abgeleitet werden, so wie ich es verstehe E = H v hat dazu beigetragen, diese Gleichung überhaupt erst zu motivieren. (Sie können zu Schrödingers Gleichung gelangen, indem Sie annehmen E = P 2 2 M + v gilt für ebene Wellen der Form ψ = A e ich ( k X − ω T ) , zusammen mit E = ℏ ω Und P = ℏ k .) Wie auch immer, da es jetzt Leute gibt, die behaupten, QM aus rein mathematischen Wahrscheinlichkeitsaxiomen "ableiten" zu können ( arxiv.org/pdf/quant-ph/0101012.pdf ), würde ich zumindest eine Form von A priori erwarten Begründung für E = H v .
@WillG Fragen Sie nach der Begründung, die wir heute verwendet haben, oder nach der Begründung, die Planck zu seiner Zeit verwendet hat? Weil letzteres bereits in der Antwort enthalten ist und ersteres eine ganz andere Frage ist.
Idealerweise würde ich gerne beides wissen - Plancks beste Argumentation zu der Zeit (die Sie gegeben haben) und unsere derzeit beste Erklärung für "warum". E = H v . Ich nehme an, der zweite Teil verdient einen separaten Thread und mehrere Haftungsausschlüsse darüber, von welchen Axiomen wir ausgehen.
@WillG Ja, idealerweise wäre das eine separate Frage, da die Antworten ganz anders wären.
Was war Plancks Motivation für die Frequenzabhängigkeit in E=nhνE=nhνE=nh\nu?
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