Wie haben Gandalf und Mordor von Gollum erfahren?

In dem Buch weiß Gandalf von Gollum, weil Bilbo es der Firma gesagt hat - obwohl er Informationen über den Ring zunächst zurückhielt:

Dann wollten sie alles über seine Abenteuer wissen, nachdem sie ihn verloren hatten, und er setzte sich hin und erzählte ihnen alles – außer über den Fund des Rings („nicht nur jetzt“, dachte er). Sie interessierten sich besonders für den Rätselwettbewerb und schauderten höchst anerkennend bei seiner Beschreibung von Gollum. ( Raus aus der Bratpfanne, rein ins Feuer )

Irgendwann nach der Spiders-Episode ( Flies and Spiders ) erzählt Bilbo den Zwergen alles (es sollte beachtet werden, dass Gandalf zu diesem Zeitpunkt nicht Teil der Firma ist):

Dort lagen sie einige Zeit, schnaufend und keuchend. sehr bald fingen sie an, Fragen zu stellen. Sie mussten sich die ganze Sache mit dem Verschwinden genau erklären lassen, und der Fund des Rings interessierte sie so sehr, dass sie für eine Weile ihre eigenen Sorgen vergaßen. Insbesondere Balin bestand darauf, die Gollum-Geschichte, die Rätsel und alles noch einmal zu erzählen, mit dem Ring an seinem richtigen Platz.

Ich kann derzeit keine Referenz in The Hobbit finden, als Bilbo Gandalf von seinem Ring erzählte (obwohl Gandalf von Gollum wusste, wie mein erstes Zitat zeigt), aber Gandalf wusste es offensichtlich und wusste es ziemlich früh, wie in The Shadow gezeigt wird der Vergangenheit in Herr der Ringe:

Dann hörte ich Bilbos seltsame Geschichte, wie er es „gewonnen“ hatte, und ich konnte es nicht glauben. Als ich endlich die Wahrheit aus ihm herausholte, sah ich sofort, dass er versucht hatte, seinen Anspruch auf den Ring außer Zweifel zu stellen.

Was Sauron betrifft, gibt es absolut keine Beweise dafür, dass Sauron vor Gollums Eintritt in Mordor etwas über Gollum und Gollums Besitz des Rings wusste, aber danach fand er es schnell genug heraus; nochmal aus Shadow of the Past :

„Aber ich fürchte, es gibt keinen möglichen Zweifel: Er hatte seinen langsamen, schleichenden Weg gemacht, Schritt für Schritt, Meile für Meile, nach Süden, schließlich hinunter in das Land Mordor“ …

„Erbärmlicher Narr! In diesem Land würde er viel lernen, zu viel für seinen Komfort. Und früher oder später, wenn er an den Grenzen lauerte und herumspionierte, würde man ihn erwischen und mitnehmen – zur Untersuchung. So war es, fürchte ich. Als er gefunden wurde, war er schon lange dort und auf dem Rückweg. Auf irgendeinen unheilvollen Auftrag. Aber das macht jetzt nicht viel aus. Sein schlimmstes Unheil war angerichtet.

„Ja, leider! durch ihn hat der Feind erfahren, dass der Eine wiedergefunden wurde. Er weiß, wo Isildur gefallen ist. Er weiß, wo Gollum seinen Ring gefunden hat. Er weiß, dass es ein großer Ring ist, denn er gab langes Leben. Er weiß, dass es keiner der Drei ist, denn sie sind nie verloren gegangen, und sie ertragen kein Übel. Er weiß, dass es keiner der Sieben oder der Neun ist, denn sie werden berücksichtigt. Er weiß, dass es der Eine ist. Und ich glaube, er hat endlich von Hobbits und dem Auenland gehört .«

Also ja, Gollum ist einfach nach Mordor gegangen.

Seine Forschungen in Minas Tirith waren eher umgekehrt. Wie die anderen Antworten gesagt haben, wusste Gandalf von Bilbo von Gollum. Er vermutete, dass Gollums Ring mächtig war. Indem er Gollum einfing und ihn verhörte, begann Gandalf zu vermuten, dass der Ring von Bilbo der Eine sein könnte, und entdeckte, wo Gollum ihn gefunden hatte. Er ging nach Minas Tirith, weil das Letzte, was er über den Einen wusste, war, dass Isildur ihn genommen hatte. Er versuchte, Gollums Fund mit dem letzten bekannten Ort des Einen Rings in Verbindung zu bringen, und hatte Erfolg.

In der OP erwähnten Sie Gandalf, der sagte, er sei von Gollum als kostbar bezeichnet worden. Das ist falsch. Er sagte, es sei schon früher so genannt worden, aber nicht von dir. Er hatte keine Möglichkeit zu wissen, dass Gollum es kostbar nannte, er hatte von Isildur gelesen, dass es ihm kostbar war.