Wie interpretiert man das magnetische Vektorpotential?

1) OP schrieb (v1):

[...] und daher lässt mich das glauben${\bf A}$sollte irgendwie mit Momentum zusammenhängen, [...].

Ja, tatsächlich das magnetische Vektorpotential${\bf A}$(mal elektrische Ladung) ist die Differenz zwischen dem kanonischen und dem kinetischen Impuls, vgl. zB diese Phys.SE-Antwort.

2) Ein weiteres Argument ist das skalare elektrische Potential$\phi$mal die Gebühr

$$\tag{1} q\phi$$

stellt keine Lorentz-invariante potentielle Energie dar. Erinnert man sich an die Lorentz-Transformationen für die$\phi$und${\bf A}$Potentiale, und man geht zu einem verstärkten Koordinatensystem, ist es nicht schwierig, die korrekte Verallgemeinerung der Lorentz-Invariante abzuleiten

$$\tag{2} U ~=~ q(\phi - {\bf v}\cdot {\bf A})$$

das ersetzt$q\phi$. Der Vorbehalt von Gl. (2) ist das$U$ist ein geschwindigkeitsabhängiges Potential, so dass die Kraft nicht nur (minus) ein Gradient ist, sondern eher die Form einer (minus) Euler-Lagrange- Ableitung hat

$$\tag{3}{\bf F}~=~\frac{d}{dt} \frac{\partial U}{\partial {\bf v}} - \frac{\partial U}{\partial {\bf r}}.$$

Man kann zeigen, dass Gl. (3) reproduziert die Lorentzkraft

$$\tag{4}{\bf F}~=~q({\bf E}+{\bf v}\times {\bf B}),$$

siehe z. B. Ref.-Nr. 1.

Verweise:

1. Herbert Goldstein, Klassische Mechanik, Kapitel 1.