Wie isoliert man θθ\theta von sin(θ)−kcos(θ)=m1m2sin⁡(θ)−kcos⁡(θ)=m1m2\sin(\theta) - k\cos(\theta) = \frac{m_1 {m_2}?

Lassen$sin{\theta} = x$.

Dann wird Ihre Gleichung

$$x-k\sqrt{1-x^{2}} = \frac{m1}{m2}$$

Trennen Sie die linearen Terme und quadrieren Sie beide Seiten.

$$(x-\frac{m1}{m2})^{2} = k^{2}(1-x^{2})$$

Es ist jetzt eine einfache quadratische Gleichung, die Sie lösen können. Denken Sie jedoch daran, nur die Lösungen auszuwählen, die innerhalb von [-1,1] liegen oder für einige Werte von innerhalb von [-1,1] liegen können$k,m1, m2$.

Nun, wenn Sie erhalten haben$\sin{\theta}$, verwenden$\sin^{-1}$erhalten$\theta$

Es kann gezeigt werden, dass jeder Ausdruck der Form$a\cos(\theta)+b\sin(\theta)$($a$Und$b$sind Konstanten) können in das Formular geschrieben werden$m\cos(\theta+c)$, Wo$m$Und$c$sind Konstanten. Insbesondere durch die Einnahme$m=\text{sgn}(a)\sqrt{a^2+b^2}$Und$c=-\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$, Wo$\text{sgn}(a)$bezeichnet das Zeichen von$a$, wir können schreiben

$$a\cos(\theta)+b\sin(\theta)=\text{sgn}(a)\sqrt{a^2+b^2}\cos\left(\theta-\tan^{-1}\frac{b}{a}\right)$$

Ersetzen$a=-k$Und$b=1$gibt

$$\begin{align*} \sin(\theta)-k\cos(\theta) &= \text{sgn}(-k)\sqrt{(-k)^2+1^2}\cos\left(\theta-\tan^{-1}\frac{1}{-k}\right)\\ &=-\text{sgn}(k)\sqrt{1+k^2}\cos\left(\theta+\tan^{-1}\frac{1}{k}\right) \end{align*}$$

also wenn$k>0$, Ihre Gleichung läuft darauf hinaus

$$-\sqrt{1+k^2}\cos\left(\theta+\cot^{-1}k\right)=\frac{m_1}{m_2}$$

Dividiere beide Seiten durch$-\sqrt{1+k^2}$gibt$\cos\left(\theta+\cot^{-1}k\right)=-\frac{m_1}{m_2\sqrt{1+k^2}}$, unter der Vorraussetzung, dass$\left|-\frac{m_1}{m_2\sqrt{1+k^2}}\right|\leq 1$.

Das kann man für jede reelle Zahl zeigen$y$mit$|y|\leq 1$, die einzigen Lösungen der Gleichung$\cos(x)=y$sind von der Form$x=2\pi m\pm\arccos(y)$für Ganzzahl$m$, So

$$\theta+\cot^{-1}(k)=2\pi m\pm\arccos\left(-\frac{m_1}{m_2\sqrt{1+k^2}}\right)$$

Das gewünschte Ergebnis folgt sofort.

$$\theta=2\pi m-\cot^{-1}(k)\pm\arccos\left(-\frac{m_1}{m_2\sqrt{1+k^2}}\right)$$

Vielleicht möchten Sie die Physikfrage posten, die Sie zu dieser Gleichung geführt hat. Vermutlich hat sich bei der Ableitung ein Fehler eingeschlichen. Dennoch,

$$\sin \theta - k \cos \theta = m_1/m_2 = \gamma$$ $$\sin \theta - k\sqrt{1-\sin^2 \theta} = \gamma$$ $$\sin \theta - \gamma = k \sqrt{1-\sin^2 \theta}$$ $$(\sin \theta -\gamma)^2 = k^2(1-\sin^2 \theta)$$ $$\sin^2 \theta - 2\sin \theta \gamma + \gamma^2 = k^2-k^2 \sin^2 \theta$$ $$(k^2+1) \sin^2 \theta +(-2 \gamma) \sin \theta + \gamma^2 -k^2=0$$ $$\sin \theta = \frac{2\gamma \pm \sqrt{4\gamma^2 - 4(k^2+1)(\gamma^2 -k^2)}}{2(k^2+1)}$$

Lassen:

$$k=\tan \alpha \ \iff \ \alpha:=\tan^{-1}k.$$

Die gleichung

$$\sin \theta - k \cos \theta = \underbrace{m_1/m_2}_{\gamma}$$

wird durch Multiplikation mit$\cos \alpha$:

$$\cos \alpha \sin \theta - \sin \alpha \cos \theta =\gamma \cos \alpha$$

$$\sin(\theta - \alpha)=\gamma \cos \alpha \tag{1}$$

Wenn$\gamma \cos \alpha \in [-1,1]$, können wir einstellen

$$\sin \delta:= \gamma \cos \alpha \ \iff \ \delta=\sin^{-1}(\gamma \cos \alpha)$$

Gleichung (1) wird zu:

$$\sin(\theta - \alpha)=\sin \delta \tag{2}$$

$$\iff \begin{cases}\theta - \alpha&=&\delta+k 2 \pi\\ \theta - \alpha&=&\pi-\delta+k' 2 \pi\end{cases}$$

woher zwei Ausdrücke für$\theta$.

Hier ist eine allgemeine Anleitung und Erklärung für Probleme Ihres Typs:

Wenn wir einen Ausdruck haben,$a\sin{x}+b\cos{x}$, nehmen wir an, es kann in der Form geschrieben werden$R\sin(x+\alpha)$Sehen wir uns nun an, ob wir Werte für finden können$R$Und$\alpha$bezüglich$a$Und$b$. Unter Verwendung der zusammengesetzten Winkelformeln, auch als Additionsformeln bekannt:

$$R\sin(x+\alpha)=R\sin{x}\cos{\alpha}+R\sin\alpha\cos x=a\sin{x}+b\cos{x}$$ Also haben wir $$R\cos\alpha=a,R\sin\alpha=b$$ Teilen Sie also die zweite Gleichheit durch die erste: $$\tan\alpha=\frac{b}{a}$$ was bedeutet, dass wir finden können$\alpha$bezüglich$a$Und$b$, wie wir wollten. Nun, zu finden$R$: Quadrieren der$2$Gleichheiten oben haben wir $$R^2\cos^2\alpha+R^2\sin^2\alpha=R^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=R^2=a^2+b^2\implies R=\sqrt{a^2+b^2}$$ Um zum Abschluss noch einmal zusammenzufassen, was wir gelernt haben: $$\tan\alpha=\frac{b}{a},R=\sqrt{a^2+b^2}$$ Bedeutung $$a\sin{x}+b\cos{x}\equiv\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\arctan{\frac{b}{a}})$$ Versuchen Sie, das auf Ihre Frage anzuwenden. Wenn Sie Fragen haben, fragen Sie bitte!

Ich hoffe das war hilfreich :)

Hinweis: Es ist nicht immer so, dass wir die positive Quadratwurzel ziehen$R$. Es kommt auf das Vorzeichen der Größen an$a$Und$\cos\alpha$(Ich hätte auswählen können$b$Und$\sin\alpha$sowie; kannst du sehen warum?).