Kreisschnittpunkt in radialen Koordinaten?

Wir haben zwei Kreise in der durch beschriebenen Ebene$C_0 = (x_0, y_0, r_0)$Und$C_1 = (x_1, y_1, r_1)$

Wir wissen, dass sie sich schneiden, aber das eine überlappt das andere nicht vollständig. Das heißt, ihr Inneres ist weder disjunkt, noch ist eines eine Teilmenge des anderen.

Offensichtlich schneiden sich die Grenzen der beiden Kreise in genau zwei Punkten.

Wenn wir die Punkte von beschreiben$C_0$in "parametrischen Radialkoordinaten" als:

$$\begin{align} P(\theta) = (x_0 + r_0\cos{\theta}, y_0 + r_0\sin{\theta}) \end{align}$$

Dann gibt es zwei Werte von$\theta \in [0,2\pi)$entsprechend den beiden Grenzschnittpunkten, so dass:

$$\begin{align} r_1 &= |P(\theta) - (x_1,y_1)| \\ {r_1}^2 &= (x_0 - x_1 + r_0\cos{\theta})^2 + (y_0 - y_1 + r_0\sin{\theta})^2 \tag{1} \end{align}$$

Wie löse ich Gl. (1) für$\theta$?

Wenn ich beauftrage$d_x = x_0 - x_1$Und$d_y = y_0 - y_1$und erweitere die rhs, die ich bekomme:

$$\begin{align} {r_1}^2 = {d_x}^2 + 2d_xr_0\cos{\theta} + {r_0}^2\cos^2{\theta} + {d_y}^2 + 2d_yr_0\sin{\theta} + {r_0}^2\sin^2{\theta} \end{align}$$

Aber dann stecke ich genauso fest.

$$\begin{align} \theta = {???} \end{align}$$