Dreiecksgeometrieproblem

Ziehen$\angle BAD = \angle B$. Dann$\angle CAD = \angle A - \angle B$. Sagen$\angle A - \angle B = \alpha$.

Wenn$BD = x, AD = x, CD = 5 - x$.

Anwendung des Kosinusgesetzes in$\triangle CAD$,

$(5-x)^2 = x^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot x \cdot \cos \alpha$

$25 + x^2 - 10 x = 16 + x^2 - 7x \implies x = 3$

Wir kennen jetzt die Seiten von$\triangle CAD$. Wenden wir das Kosinusgesetz wieder an, finden wir$~ \cos \angle C = \dfrac{11}{16}$.

Sie können die Winkel schreiben$A$Und$B$folgendermaßen

$A = \left( \dfrac{A + B}{2} \right) + \left( \dfrac{A - B}{2} \right)$

Und

$B = \left( \dfrac{A + B}{2} \right) - \left( \dfrac{A - B}{2} \right )$

Der Winkel$\theta = \dfrac{A - B}{2}$ist bekannt, es ist

$\theta = \dfrac{1}{2} \cos^{-1} (\frac{7}{8} )$

Aus dem Sinussatz haben wir

$\dfrac{\sin A}{\sin B} = \frac{5}{4}$

Daher seit$C = \pi - (A+B)$Dann$\phi = \dfrac{A + B}{2} = \dfrac{\pi - C}{2}$

$\dfrac{\sin( \phi + \theta ) }{\sin (\phi - \theta) } = \dfrac{5}{4}$

Die einzige Unbekannte hier ist$\phi$.

Kreuz multiplizieren und erweitern

$4 \sin (\phi + \theta ) = 5 \sin(\phi - \theta)$

$4 ( \sin(\phi) \cos(\theta) + \cos(\phi) \sin(\theta) ) = 5 (\sin(\phi) \cos(\theta) - \cos(\phi) \sin(\theta) )$

Begriffe sammeln

$\sin(\phi) \cos(\theta) = 9 \cos(\phi) \sin(\theta)$

Somit,

$\tan(\phi) = 9 \tan(\theta)$

Jetzt

$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} \frac{7}{8}$

Deshalb,

$\cos(\theta) = \sqrt{ \dfrac{1 + \frac{7}{8} }{2} } = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$

Und

$\tan(\theta) = \sqrt{ \frac{16}{15} - 1 } = \dfrac{1}{\sqrt{15}}$

Somit

$\tan(\phi) = \dfrac{9}{\sqrt{15}}$

aus denen

$\sec(\phi) = \sqrt{\frac{32}{5}}$

Und

$\cos(\phi) = \sqrt{\frac{5}{32}}$

Daher

$\cos(2 \phi) = 2 \left( \frac{5}{32} \right) - 1 = - \dfrac{11}{16}$

Aber$2 \phi = \pi - C$, Deshalb,$C = \pi - 2 \phi$

Aus denen$\cos(C) = - \cos(2 \phi) = \boxed{\dfrac{11}{16}}$

Mit den gegebenen 3 unabhängigen Informationen können wir konstruieren$\triangle{ABC}$. Dann$\cos \widehat{C}$kann mit Seitenlängen berechnet werden.

Zeichne den Umkreis von$ABC$, dann ziehen Sie seine Tangente aus$C$und lassen Sie diese Tangente die Verlängerung von treffen$BA$bei$D$. Dann$\widehat{BDC}=\widehat{A}-\widehat{B}$

$\triangle{ADC}$Und$\triangle{BDC}$sind ähnlich. Deshalb:

$$\frac{DA}{DC} = \frac{DC}{DB} = \frac{AC}{BC} = \frac45$$ Infolge,$\frac{AB}{DB}=\frac{9}{25}$und wenn wir rechnen$DB$dann haben wir$AB$.

Jetzt in$\triangle{ADC}$Höhe ziehen$AH$. Kannst du es von hier nehmen?