Anzahl der Dreiecke ΔABCΔABC\Delta ABC mit ∠ACB=30o∠ACB=30o\angle{ACB} = 30^o und AC=93–√AC=93AC=9\sqrt{3} und AB=9AB=9AB=9?

Question

Anzahl der Dreiecke ΔABCΔABC\Delta ABC mit ∠ACB=30o∠ACB=30o\angle{ACB} = 30^o und AC=93–√AC=93AC=9\sqrt{3} und AB=9AB=9AB=9?

Geometrie
Dreiecke
Mathematik
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Algebra-Vorkalkül

Sternschnuppen

Ich bin gerade auf folgende Frage gestoßen,

Ein Dreieck $\Delta ABC$ wird so gezeichnet, dass $\angle{ACB} = 30^o$ und Seitenlänge $AC$ = $9*\sqrt{3}$

Wenn Seitenlänge $AB = 9$ , wie viele mögliche Dreiecke können $ABC$ existieren als?

Hier ist ein Diagramm als Referenz:

Folgendes habe ich getan:

Ich habe den Sinussatz verwendet, um den Winkel zu finden $\angle ABC$

$\to \frac{9}{\sin(30^o)} = \frac{9*\sqrt{3}}{\sin(\angle ABC)}$

\to ∠ A B C = 60^{Ö}

$\to \angle ABC = 60^o$

Also deshalb, $\Delta ABC$ kann nur als existieren $1$ Dreieck mit Winkeln: $30^o, 60^o$ Und $90^o$ .

Aber die Antwort sagt $2$ Dreiecke sind möglich. Meine Frage ist also: Was ist das zweite mögliche Dreieck?

poetase

Mit den angegebenen Seiten und Winkeln sind die einzigen Möglichkeiten

∠ A B C = 60^{\circ}, B C = 18

$\space\angle ABC=60^\circ,\space BC=18\space$ oder

∠ A B C = 120^{\circ}, B C = 9.

$\space\angle ABC=120^\circ,\space BC=9. \space$

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Anzahl der Dreiecke ΔABCΔABC\Delta ABC mit ∠ACB=30o∠ACB=30o\angle{ACB} = 30^o und AC=93–√AC=93AC=9\sqrt{3} und AB=9AB=9AB=9?

Mit den angegebenen Seiten und Winkeln sind die einzigen Möglichkeiten $\space\angle ABC=60^\circ,\space BC=18\space$ oder $\space\angle ABC=120^\circ,\space BC=9. \space$

Etemon · Answer 1

Beachten Sie, dass

Sünde (∠ A B C) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow ∠ A B C = 60^{\circ} oder 120^{\circ}

$\sin (\angle ABC)=\frac{\sqrt3}2\quad\Rightarrow \angle ABC= 60^{\circ}\quad\text{or}\quad120^{\circ}$ Daher gibt es ein weiteres Dreieck mit Winkeln

30^{\circ}, 30^{\circ}, 120^{\circ}

$30^{\circ},30^{\circ},120^{\circ}$ .

Oh, richtig. Ich habe vergessen, dass der Sinus in Quadrant 2 positiv ist und der Winkel kleiner als ist $180^o$ , Vielen Dank!

Saksham Sethi · Answer 2

Als Sie die Sinusgleichung gelöst haben, haben Sie eine Lösung vergessen.

Beachten Sie, dass

Sünde (∠ A B C) = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\sin (\angle ABC)=\frac{\sqrt3}{2}$ impliziert, dass

∠ A B C = 60^{\circ} oder 120^{\circ}

$\angle ABC= 60^{\circ}\quad\text{or}\quad120^{\circ}$ ,

statt nur $60$ .

Ich hoffe das hilft.

Benutzer997661 · Answer 3

Eine Alternative:

Halten,

$h$ ist die Höhe und ist gleich $a\sin\theta$ .

Wenn $b\gt h$ , gibt es zwei mögliche Dreiecke.

Wenn $b=h$ , gibt es ein mögliches Dreieck.

Wenn $b\lt h$ , gibt es keine möglichen Dreiecke.

Wenn $b > h$ , gibt es immer eine zweite Möglichkeit für einen Winkel?
@ShootingStars ... ja, und hier betrachten wir die Fälle, in denen $\theta\lt90^\circ.$

Ryan · Answer 4

Das Diagramm systematisch (und vernünftiger; z. B. $AC$ sollte fast doppelt so lang skizziert werden, anstatt ungefähr gleich lang wie, $AB$ ) hilft, die Mehrfachfälle sichtbar zu machen:

Im Allgemeinen z $\theta\in(0^\circ,180^\circ),$
$Sünde θ = k ⟹ θ = \arcsin k oder 180^{\circ} - \arcsin k,$ $\sin\theta=k\implies\theta=\arcsin k \;\text{ or }\; 180^\circ-\arcsin k,$ während $\cos θ = k ⟹ θ = \arccos k .$ $\cos\theta=k\implies\theta=\arccos k.$
Alternativ mit dem Kosinussatz anstelle des Sinussatzes:

$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 (A C) (B C) \cos ∡ A C B B C^{2} - 27 B C - 162 = 0 B C = 9 oder 18.$ $AB^2=AC^2+BC^2-2(AC)(BC)\cos\measuredangle{ACB}\\ BC^2-27BC-162=0\\ BC=9 \;\text{or}\; 18.$

Dies ist eine wirklich gute Art, es zu betrachten. Ich verstehe fast Ihre Idee mit LOC (Law of Cosinus), aber wo würden Sie anfangen? Würden Sie es verwenden, um zuerst die Länge der dritten unbekannten Seite zu finden, wie sie durch die folgende Gleichung rechts gegeben ist: $a^2 = b^2+c^2-2bc*\cos(\theta)$ ?
Hier können Sie den Kosinussatz anwenden. Durch Anwendung der Gleichung $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ mit $b = 9\sqrt{3}$ , $b = 9$ , Und $\gamma = 30^\circ$ , erhalten Sie eine quadratische Gleichung in $a$ . Da es eine positive Diskriminante hat, hat das Dreieck zwei mögliche Lösungen.
@NFTaussig Ah, Ihre hilfreiche Beobachtung macht deutlich, dass immer dann, wenn sich aus dem Sinusgesetz Mehrdeutigkeiten ergeben sollten, sich aus dem Kosinusgesetz eine entsprechende Mehrdeutigkeit (im selben Dreieck) ergibt. (Während das Sinusgesetz keinen illegitimen Winkel beseitigt – einen, der dazu führt, dass die Winkel des Dreiecks überschritten werden $180^\circ$ – die negative Diskriminante des Kosinusgesetzes erledigt diese Aufgabe.) Ich hatte nie zuvor daran gedacht, das Kosinusgesetz auf diese Weise zu verwenden; danke für den hinweis!

Anzahl der Dreiecke ΔABCΔABC\Delta ABC mit ∠ACB=30o∠ACB=30o\angle{ACB} = 30^o und AC=93–√AC=93AC=9\sqrt{3} und AB=9AB=9AB=9?

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△ABC△ABC\Dreieck ABC mit einem Punkt DDD darin hat ∠BAD=114∘∠BAD=114∘\angle BAD=114^\circ, ∠DAC=6∘∠DAC=6∘\angle DAC=6^\circ , ∠ACD=12∘∠ACD=12∘\angle ACD=12^\circ, und ∠DCB=18∘∠DCB=18∘\angle DCB=18^\circ.

Summe der Winkel, unter denen ein festes Liniensegment von Punkten gesehen wird, die auf einem anderen Liniensegment liegen

Eine Funktion zum Erzeugen von pythagoreischen Tripeln

Angenommen ∠BAC=60∘∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ und ∠ABC=20∘∠ABC=20∘\angle ABC = 20^\circ. Ein Punkt EEE innerhalb von ABCABCABC erfüllt ∠EAB=20∘∠EAB=20∘\angle EAB=20^\circ und ∠ECB=30∘∠ECB=30∘\angle ECB=30^\circ.

Finden Sie ∠CAD∠CAD\Winkel CAD in der folgenden Abbildung.

Dreiecksgeometrieproblem

Winkel, die einen Punkt innerhalb eines Dreiecks bestimmen

Wie finden Sie pythagoreische Tripel, die ungefähr einem rechtwinkligen Dreieck mit einem bestimmten Winkel entsprechen?

Kreisschnittpunkt in radialen Koordinaten?

Gleiche Kreise verpackt in △ABC△ABC\triangle ABC mit AC=9AC=9AC=9, AB=12AB=12AB=12, ∠CAB=90∘∠CAB=90∘\angle CAB=90^\circ