Winkel, die einen Punkt innerhalb eines Dreiecks bestimmen

Gegeben ein Dreieck A B C , ein Punkt P Das Innere des Dreiecks kann durch zwei Winkel bestimmt werden, zum Beispiel den Winkel a = ∠ P A C und der Winkel β = ∠ P B A (Siehe Diagramm unten).

In diesem Fall einmal a Und β gewählt werden, der dritte ähnlich definierte Winkel γ = ∠ P C B Ist repariert. Bei dieser Frage geht es um das Wie γ hängt ab von (dem Bekannten) a Und β .

Anwendung der Sinusregel auf die drei Dreiecke, die sich bei treffen P , konnte ich eine Formel finden

Kinderbett ⁡ γ = Kinderbett ⁡ C + Sünde ⁡ a Sünde ⁡ β Sünde ⁡ ( A − a ) Sünde ⁡ ( B − β ) Sünde ⁡ C ⋅

Das blinde Anwenden von trigonometrischen Formeln auf diese Weise führt zu einem ziemlich komplexen Ausdruck, und es ist nicht direkt ersichtlich, in welcher Beziehung er zu einer scheinbar einfachen geometrischen Beziehung steht.

Kennt jemand eine einfachere Darstellungsweise γ und/oder eine grundlegende geometrische Intuition zu beziehen γ Zu a Und β ?

Siehe die trigonometrische Form des Satzes von Ceva . Dies bringt Sie zu der gleichen weniger als hübschen Beziehung, die Sie gefunden haben, zeigt aber zumindest, dass die Beziehung von einem eleganten Ausgangspunkt herrührt.
@Blue Ein weiterer "eleganter Ort" kann durch Verwendung baryzentrischer Koordinaten erhalten werden (siehe meine Lösung). Ich wäre nicht erstaunt, dass es der interessanten trigonometrischen Form von Cevas Satz entspricht, den Sie erwähnen und den ich nicht kenne.
@JeanMarie: Deine Determinantenform ist auch ziemlich ordentlich. :) ... Aus irgendeinem Grund ist trigonometrisches Ceva (und Menelaos) nicht so bekannt wie die klassische Form. (Deshalb musste ich auf Cut-the-Knot verlinken, anstatt beispielsweise auf Wikipedia.) Ich fand es jedoch recht praktisch.

Antworten (1)

Die Liniengleichungen P A , P B , P C in baryzentrischen Koordinaten ( A , B , C ) sind bzw.

{ 0 A + Sünde ⁡ ( A − a ) B − Sünde ⁡ ( a ) C = 0 − Sünde ⁡ β A + 0 B + Sünde ⁡ ( B − β ) C = 0 Sünde ⁡ ( C − γ ) A − Sünde ⁡ γ B + 0 C = 0

Daher haben diese Linien einen gemeinsamen Punkt P , können wir eine ziemlich symmetrische Beziehung in Form der Determinante ihrer Koeffizienten gleich schreiben 0 :

0 Sünde ⁡ ( A − a ) − Sünde ⁡ ( a ) − Sünde ⁡ β 0 Sünde ⁡ ( B − β ) Sünde ⁡ ( C − γ ) − Sünde ⁡ γ 0 = 0

oder :

Sünde ⁡ a Sünde ⁡ β Sünde ⁡ γ = Sünde ⁡ ( A − a ) Sünde ⁡ ( B − β ) Sünde ⁡ ( C − γ )

was der trigonometrischen Form der Ceva-Formel von @Blue entspricht.

@Blue Eine weitere reichhaltige Seite für verschiedene Formen des Ceva-Theorems (und der Geometrie im Allgemeinen!)
Danke euch beiden, das gibt eine sehr schöne Einstellung. Das Produkt der Sinusgleichung, sei es über den Satz von Ceva oder baryzentrische Koordinaten, lässt sich leicht auf das umstellen, was ich gefunden hatte.
Winkel, die einen Punkt innerhalb eines Dreiecks bestimmen
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v