Wie man diese komplizierte trigonometrische Gleichung für die Lösung dieses Dreiecks löst.

Question

Wie man diese komplizierte trigonometrische Gleichung für die Lösung dieses Dreiecks löst.

Geometrie
Dreiecke
Mathematik
Trigonometrie

UNAN

In $\triangle ABC$ , Wenn $AB=AC$ und innere Winkelhalbierende $B$ trifft $AC$ bei $D$ so dass $BD+AD=BC=4$ , was ist dann $R$ (Umfangsradius)?

Mein Ansatz:- Ich habe zuerst das Diagramm gezeichnet und überlegt $\angle ABD=\angle DBC=\theta$ und wie $AB=AC$ , $\angle C=2\theta$ . Deshalb $\angle A=180-4\theta$ . Ebenso wie $AE$ ist die Winkelhalbierende und $AB=AC$ , Dann $BE=EC=2.$ Wenden Sie nun den Sinussatz an $\triangle ADB$ Und $\triangle BDC$ gibt

\frac{B D}{Sünde (180 - 4 θ)} = \frac{A D}{Sünde θ}

$\frac{BD}{\sin {(180-4\theta)}}=\frac{AD}{\sin \theta}$

\frac{B C}{Sünde (180 - 3 θ)} = \frac{B D}{Sünde 2 θ}

$\frac{BC}{\sin(180-3\theta)}=\frac{BD}{\sin 2\theta}$
Jetzt wissen wir das

B C = 4

$BC=4$ und dann beide Gleichungen durch Einsetzen lösen

B D + A D = 4

$BD+AD=4$ , wir bekommen

Sünde 2 θ . Sünde 4 θ + Sünde 2 θ . Sünde θ = Sünde 3 θ . Sünde 4 θ

$\sin 2\theta .\sin4\theta+\sin2\theta.\sin\theta=\sin3\theta.\sin4\theta$

Sünde 4 θ + Sünde θ = \frac{Sünde 3 θ . Sünde 4 θ}{Sünde 2 θ}

$\sin4\theta+\sin\theta=\frac{\sin3\theta.\sin4\theta}{\sin2\theta}$
Jetzt habe ich keine Ahnung, wie ich hier weiter vorgehen soll. Obwohl ich versucht habe, die gesamte Gleichung in eine Variable zu lösen (

\sin θ

$\sin\theta$ ), aber es wird sehr mühsam, da Macht von

4

$4$ tritt ein. Kann jemand bitte weiter helfen oder gibt es eine alternative Methode , um dieses Problem effizienter oder schneller zu lösen ?
Danke

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Wie man diese komplizierte trigonometrische Gleichung für die Lösung dieses Dreiecks löst.

Ritam_Dasgupta · Answer 1

In der Tat gehen Sie richtig vor. Die Gleichung lässt sich wie folgt lösen:

\begin{matrix} (1) & Sünde 2 θ Sünde θ = Sünde 4 θ (Sünde 3 θ - Sünde 2 θ) \end{matrix}

$\sin 2\theta \sin \theta=\sin 4\theta(\sin 3\theta-\sin 2\theta) {\tag 1}$ Jetzt

\sin 3 θ - \sin 2 θ = 2 \cos \frac{5 θ}{2} \sin \frac{θ}{2}

$\sin 3\theta-\sin 2\theta=2\cos \frac {5\theta}{2} \sin \frac {\theta}{2}$ .

Auch $\sin \theta=2\cos \frac {\theta}{2} \sin \frac {\theta}{2}$ , Und $\sin 4\theta=2\sin 2\theta \cos 2\theta$ . So, $(1)$ vereinfacht sich zu:

\begin{matrix} (2) & \cos \frac{θ}{2} = 2 \cos \frac{5 θ}{2} \cos 2 θ \end{matrix}

$\cos \frac {\theta}{2}=2\cos \frac {5\theta}{2}\cos 2\theta {\tag 2}$ Seit

2 \cos \frac{5 θ}{2} \cos 2 θ = \cos \frac{9 θ}{2} + \cos \frac{θ}{2}

$2\cos \frac {5\theta}{2} \cos 2\theta=\cos \frac {9\theta}{2}+\cos \frac {\theta}{2}$ , wir haben, von

(2)

$(2)$ :

\cos \frac{9 θ}{2} = 0

$\cos \frac {9\theta}{2}=0$ Das bedeutet, dass

\frac{9 θ}{2} = \frac{π}{2}

$\frac {9\theta}{2}=\frac {\pi}{2}$ , somit

θ = \frac{π}{9}

$\theta=\frac {\pi}{9}$ . Das bedeutet, dass alle Winkel des Dreiecks bekannt sind, und wir wissen es

B C = 4

$BC=4$ . Unter Verwendung des Sinusgesetzes

2 R = \frac{B C}{Sünde A}

$2R=\frac {BC}{\sin A}$ ist einfach zu berechnen.

Ich glaube nicht, dass das ganz vollständig ist. Du kannst nicht gehen $\cos 9\theta/2 = 0$ Zu $9\theta/2 = \pi/2$ da es andere Lösungen gibt, die Sie eliminieren müssen.
Stimmt, ich habe es nicht erwähnt, aber es ist eigentlich ganz einfach. Allgemeine Lösung ist $\theta=\frac {(2n+1)\pi}{9}$ , Und $0<\theta <\frac {\pi}{4}$ , seit $\angle A>0$ , also ist nur diese Lösung möglich

Benutzer64494 · Answer 2

Ja, es gibt eine solche Methode. Verwendung des Mathematica-Befehls

FullSimplify[Reduce[Sin[2*\[Theta]]*Sin[4*\[Theta]] + 
 Sin[2*\[Theta]]*Sin[\[Theta]] == 
Sin[3*\[Theta]]*Sin[4*\[Theta]] && \[Theta] > 0 && \[Theta] < 
Pi, \[Theta]] // ToRadicals]

, Man erhält

3 θ = π \lor 2 θ = π \lor 9 θ = π \lor 9 θ = 5 π \lor 9 θ = 7 π .

$3 \theta =\pi \lor 2 \theta =\pi \lor 9 \theta =\pi \lor 9 \theta =5 \pi \lor 9 \theta =7 \pi.$

Sorry, aber das habe ich noch nicht gelernt. Natürlich werde ich in Zukunft versuchen, dies zu lernen. Vielen Dank.

Mathe-Liebhaber · Answer 3

Die Werte sind derart, dass sich Gleichungen nicht vereinfachen. Nichtsdestotrotz ist hier ein alternativer Ansatz.

Sagen $AB = AC = x$ und wir wissen es $BC = 4$ ,

Nach dem Satz der Winkelhalbierenden gilt:

$\cfrac{4}{x} = \cfrac{x-AD}{AD} \implies AD = \cfrac{x^2}{4+x}$

Jetzt durch Winkelhalbierende Längenformel,

$BD^2 = \cfrac{4x}{(4+x)^2} [(4+x)^2 - x^2] = \cfrac{32x(x+2)}{(4+x)^2}$

Jetzt, $BD + AD = 4 = \cfrac{x^2}{4+x} + \cfrac{\sqrt{32x(x+2)}}{4+x}$

$16+4x-x^2 = \sqrt{32x(x+2)}$

Das Lösen mit WolframAlpha ist die einzig gültige Lösung $x \approx 2.61$

Verwenden Sie jetzt, um den Umkreisradius zu finden $R = \cfrac{abc}{4 \triangle} = \cfrac{4 x^2}{8 \sqrt{x^2 - 4}}$

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