Wie ist der Gleichgewichtszustand bei einer zweiten Ableitung gleich Null?

Betrachten Sie die folgenden Potenziale:

Alle drei dieser Potentiale haben einen Gleichgewichtspunkt bei$x = 0$. Alle drei dieser Potentiale sind so, dass die zweite Ableitung von$U(x)$an diesem Gleichgewichtspunkt ist Null. Sie sollten sich jedoch davon überzeugen (etwa durch Aufzeichnen dieser Potentiale), dass das Gleichgewicht im ersten Fall stabil, im zweiten Fall instabil und im dritten Fall, wie Sie es ausdrücken, "stabil in einer Richtung" ist aber instabil in der anderen".

Die Moral ist: Nur zu wissen, dass die zweite Ableitung Null ist, sagt nichts über Stabilität aus. Wir müssen uns höhere Ableitungen ansehen, wenn wir mehr wissen wollen.

Zunächst einmal haben Sie eine ungenaue Vorstellung von Stabilität: Auch kleine Geschwindigkeiten spielen eine Rolle, nicht nur kleine Verschiebungen aus dem Gleichgewicht. Ein Gleichgewicht$x_0$ist stabil , wenn die Bewegung begrenzt ist$x_0$und seine Geschwindigkeit ist für jede positive Zeit um die verschwindende Geschwindigkeit herum beschränkt, für jede Anfangsbedingung nahe bei$x_0$und jede Anfangsgeschwindigkeit in der Nähe von$0$zum Zeitpunkt$t=0$.

Mit anderen Worten, nach der allgemeinen Stabilitätstheorie (siehe z. B. die Lehrbücher von Arnold oder Fasano-Marmi) das Gleichgewicht$x_0$stabil ist (in der Zukunft) , wenn

Nachbarschaft reparieren$U$von$(x_0,0)$, gibt es eine zweite Nachbarschaft$V\subset U$von$(x_0,0)$so dass jedes Paar von Anfangsbedingungen$x(0)=y_0$Und$\dot{x}(0) = \dot{y}_0$mit$(y_0, \dot{y}_0) \in V$führt zu einer Bewegung$x=x(t)$so dass$(x(t), \dot{x}(t)) \in U$für jeden $t\in (0, +\infty)$.

Ein Satz (wie oben beschränke ich mich auf den eindimensionalen Fall) beweist, dass wenn alle Kräfte konservativ sind dann

(a) eine Konfiguration$x_0$ist genau dann ein Gleichgewicht, wenn$\frac{dU}{dx}|_{x_0}=0$,

(b) ein Gleichgewicht$x_0$ist stabil, wenn$U$hat ein striktes Minimum an$x_0$(dh$U(x)>U(x_0)$für$x\neq x_0$in einer Nachbarschaft von$x_0$).

(c) ein Gleichgewicht$x_0$ist instabil, wenn$\frac{d^2U}{dx^2}|_{x_0}>0$.

Die Bedingung in (b) ist erfüllt, wenn$\frac{d^2U}{dx^2}|_{x_0} <0$, aber das ist nur eine hinreichende Bedingung (denken Sie an$U(x)=x^4$mit$x_0=0$, es ist offensichtlich stabil und erfüllt (b), aber$\frac{d^2U}{dx^2}|_{x_0}=0$).

Es bleibt der Fall offen$\frac{d^2U}{dx^2}|_{x_0}=0$. Es muss im Einzelfall geprüft werden. Bestimmte Fälle sind jedoch einfach. Berücksichtigen Sie insbesondere jeden Punkt$x_0 > x_5$auf deinem Bild. Es ist klar, dass die Bedingung in (a) wahr ist, also gilt$x_0$ist ein Gleichgewicht und auch$\frac{d^2U}{dx^2}|_{x_0}=0$.

Allerdings, vielleicht entgegen der naiven Vorstellung,$x_0>x_5$ist instabil . In der Tat, wenn Sie mit einer Anfangsbedingung beginnen$x(0) = y_0$willkürlich nahe$x_0$und eine Geschwindigkeit$\dot{x}(0) = \dot{y}_0 > 0$willkürlich nahe$0$, die entstehende Bewegung ist$x(t) = \dot{y}_0 t + y_0$und eine ausreichend lange Wartezeit$t>0$,$x(t)$Ausgänge aus jeder Nachbarschaft von$x_0$zunächst fest.

(Aussage (b) ist heutzutage ein elementarer Unterfall eines berühmten Satzes von Lyapunov, aber ein Beweis war bereits von Lagrange und Dirichlet bekannt. Tatsächlich ist die Gesamtenergie$E(x, \dot{x})$ist eine Lyapunov-Funktion für das System für den kritischen Punkt$(x_0,0)$Wenn$U$hat ein striktes Minimum an$x_0$.)

Taylor erweitert die Kraft$F(x) = -U'(x)$um$x = x_0$:

Setze das fest$F(x_0) = 0$und dann

In dem Fall, dass$U''(x_0) \gt 0$, dann für$\Delta x$klein, ist die Kraft etwa eine lineare Rückstellkraft.

In dem Fall jedoch$U''(x_0) = 0$(und mindestens eine Ableitung höherer Ordnung ungleich Null ist), dann für$\Delta x$klein ist, ist die Kraft nichtlinear und nicht notwendigerweise eine Rückstellkraft.

Zum Beispiel, wenn$U'''(x_0) \ne 0$, dann ändert sich das Vorzeichen der Kraft nicht als$\Delta x$geht durch Null; Die Kraft wirkt der Verschiebung in einer Richtung und der Verschiebung in der anderen Richtung entgegen (wodurch das Teilchen weggetrieben wird$x=x_0$).

Für die Kraft, die in dem Fall wiederherzustellen ist$U''(x_0) = 0$erfordert, dass die Ableitung der niedrigsten Ordnung ungleich Null (höher als die 2.) eine gerade Ordnung und positiv ist