Potentialfunktion für konservative Schnittgrößen

In Goldsteins Buch Klassische Mechanik betrachtete er ein System von Teilchen und betrachtete die konservative innere Kraft zwischen Teilchen ich und Teilchen J die dem starken Gesetz von Aktion und Reaktion genügen.

Er schrieb die potentielle Funktion für diese innere Kraft als

v ich J = v ich J ( | R ich → − R J → | ) .

Er sagte dann, dass die Kräfte F → J ich (Kraftteilchen j übt auf i aus) und F → ich J (Kraftteilchen i übt auf j aus) sind automatisch gleich und entgegengesetzt:

F → J ich = − ∇ ich v ich J ( | R ich → − R J → | ) = + ∇ J v ich J ( | R ich → − R J → | ) = − F → ich J .

Ich habe einige Probleme zu sehen, warum

− ∇ ich v ich J ( | R ich → − R J → | ) = + ∇ J v ich J ( | R ich → − R J → | ) .
Der Gradientenoperator wirkt auf verschiedene Indizes, warum macht ein Vorzeichenwechsel sie gleich?

Antworten (1)

Mathematisch ist nur die Kettenregel? Seit

∂ ∂ R → ich v ich J ( | R → ich − R → J | ) = ∂ v ich J ∂ ( R → ich − R → J ) ∂ ( R → ich − R → J ) ∂ R → ich = ∂ v ich J ∂ ( R → ich − R → J ) ( 1 − δ J ich )

∂ ∂ R → J v ich J ( | R → ich − R → J | ) = ∂ v ich J ∂ ( R → ich − R → J ) ∂ ( R → ich − R → J ) ∂ R → J = ∂ v ich J ∂ ( R → ich − R → J ) ( δ ich J − 1 ) = − ∂ ∂ R → ich v ich J ( | R → ich − R → J | )

So weit wie δ ich J = δ J ich .

Kannst du erklären, warum du getauscht hast? ∇ ich mit ∂ ∂ R → ich ? Mein Verständnis ist das ∇ ich = ∂ ∂ X ich ich → + ∂ ∂ j ich J → + ∂ ∂ z ich k →
Dein Verständnis ist korrekt. Es ist eine äquivalente Notation, aber ich dachte, es könnte helfen, die Eigenschaft zu sehen.
Potentialfunktion für konservative Schnittgrößen
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