Über die Konstruktion potentieller Energiefunktionen

Wenn es möglich ist, ein klassisches Potential zu konstruieren$V(\vec x)$für ein System sollte sicherlich der Gradient des Potentials mit der Kraft an jedem Punkt zusammenfallen. Ebenso können Sie sich seine Werte als die Integration der Arbeit vorstellen$\int F\ \text{d}\vec s$vom tiefsten Punkt$\vec{x}_0$der potentiellen Energie$V(\vec x_0)\equiv V_0$. Und wenn es eine Gleichgewichtssituation gibt, dann hat das Potential dort ein lokales Minimum. Wenn Sie in diesem Brunnen eine Erweiterung zweiter Ordnung vornehmen, erhalten Sie immer einen harmonischen Oszillator.

Eine wichtige Richtlinie ist auch, dass das Potential die gleichen Symmetrien wie das System haben wird. Sitzt man im Zentrum und das ganze Problem ist rotationssymmetrisch, dann ein Potential der Form$V(|\vec x|)$wird nicht überraschen.

Es hängt von der Situation ab. Erstens, wenn Sie sich die Gleichgewichtspunkte ansehen, kennen Sie die Maxima und Minima in Abhängigkeit von der Art des Gleichgewichts (es kann entweder ein stabiles, instabiles oder metastabiles Gleichgewicht sein). Wie Nick in der früheren Antwort darauf hingewiesen hat, hängt dies von den Symmetrien des Systems ab. Kräfte, die rotationsinvariant sind, sind im Allgemeinen Funktionen von$|\mathbf{x}|$. (Gravitation, Elektromagnetisches Potential sind von der Form$1/r$) Manchmal haben sie auch einen Quantenursprung. Sprich, die Kraft zwischen zwei neutralen Atomen oder Molekülen, auch Van-der-Waals-Kraft genannt, geht so$1/r^{6}$. Die Kraft wird im Allgemeinen durch das Lennard-Jones-Potential modelliert, das wie folgt aussieht:

Das Lennard-Jones-Potential ist tatsächlich vorhanden

$$\begin{equation*} V_{LJ}(r) = \frac{A}{r^{12}}-\frac{B}{r^6} \end{equation*}$$ Um das Attraktive zu bekommen $1/r^{6}$Begrifflich brauchen Sie die Störungstheorie und die Annahme, dass alle intermolekularen Wechselwirkungen elektromagnetischen Ursprungs sind. Die Einzelheiten der Berechnung finden sich in Sakurai, Kapitel 5 (Approximation Methods). Das Abstoßende $1/r^{12}$Begriff kommt von Pauli-Abstoßung. Wie es scheint, ist das Potential am Van-der-Waals-Radius minimal, was die stabilste Konfiguration ergibt. Dies modelliert die reale Interaktion sehr gut und wird auch für die schöne funktionale Form verwendet, die es hat. Wenn ich mich richtig erinnere, wurde dies auch beim Studium des Drude-Modells (Ashcroft und Mermin) verwendet und gibt richtige Antworten. Es ist also nicht immer richtig anzunehmen, dass ein klassisch aussehendes Potenzial einen klassischen Ursprung hat. Daher fließen viele Faktoren in die Konstruktion des Potentials ein: Gleichgewichtspunkte, Symmetrien des Problems, Einschränkungen (wenn überhaupt vorhanden), Quantenmechanik, experimentelle Daten usw. Die Kunst liegt darin, wie gut man es mit einem Brunnen approximieren kann -Verhaltensfunktion und Vorhersageergebnisse (wie ich bereits erwähnt habe, ist das Drude-Modell teilweiseerfolgreich damit)

Potentiale realer Systeme werden üblicherweise auf der Grundlage gemessener spektraler Informationen konstruiert, die an angenommene allgemeine parametrische Formen für ein Potential angepasst werden. Dabei werden die Parameter durch eine Optimierungsroutine iterativ so verändert, dass die berechneten spektralen Differenzen (die theoretisch die Wellenlängen der Spektrallinien definieren) am besten zu den gemessenen Wellenlängen passen.

Für Multipartikel-Potentiale ist es höchst nicht trivial, dies wirklich gut zu machen, und die Verbesserung der Techniken ist immer noch eine Frage der Forschung.

Ein Beispiel aus der reichhaltigen spektroskopischen Literatur zu diesem Thema ist „Infrared Spektrum and Potential Energy Surface of HeCO“ http://scienide2.uwaterloo.ca/~rleroy/Pubn/94JCP-HeCO.pdf