Unter der Annahme des dritten starken Newtonschen Gesetzes, warum ist ∇V(|ri−rj|)=(ri−rj)f∇V(|ri−rj|)=(ri−rj)f\nabla V(\vert {\bf r }_i-{\bf r}_j\vert)=({\bf r}_i-{\bf r}_j)f?

Mathematisch,

$$\nabla V_{ij}(r) = \frac{\partial V}{\partial r}.\frac{\partial r}{\partial x} \hat i + \frac{\partial V}{\partial r}.\frac{\partial r}{\partial y} \hat j + \frac{\partial V}{\partial r}.\frac{\partial r}{\partial z} \hat k$$ Auch, $$r^2 = x^2 + y^2 + z^2$$ (Ich habe genommen $r_{j} = 0$Und $r_{i} = r$zur Vereinfachung der Berechnung). Das wird geben $$\frac{\partial r}{\partial x_{i}} = \frac{x_{i}}{r}$$ für jedes i.

Und so,

$$\nabla V_{ij}(r) = \frac{\partial V}{\partial r}.\frac{1}{r}.(x\hat i + y\hat j +z\hat k)$$ $$=\frac{\partial V}{\partial r}.\frac{1}{r}.(\vec r)$$ Daher, $\frac{\partial V}{\partial r}.\frac{1}{r}$ist der $f$genannt.

Physikalisch ist der Gradient jedes Potentials in die Richtung gerichtet, in der es sich ändert. Und wie$V$hängt nur davon ab$r$es ändert sich in Richtung von$r$.

Die Kraft$\textbf{F}_{ij}$muss in Richtung zeigen$\textbf{r}_i-\textbf{r}_j$. Ich denke, was sie damit meinen wollen, ist, dass der vektorielle Teil der Kraft in diese Richtung gehen muss. Dies kann geschrieben werden als$\textbf{r}_i-\textbf{r}_j$mal eine Skalarfunktion$f$.

Dieses Beispiel kann Ihnen helfen. Das Gravitationspotential zwischen zwei Massen kann geschrieben werden als$V(|\textbf{r}_i-\textbf{r}_j|)=-\frac{G m_i m_j}{|\textbf{r}_i-\textbf{r}_j|}$. Andererseits kann die Gravitationskraft geschrieben werden als$\textbf{F}_{ij}=\frac{G m_i m_j}{|\textbf{r}_i-\textbf{r}_j|^2}(\textbf{r}_i-\textbf{r}_j)$(Sie können es explizit berechnen). In diesem Beispiel wäre die Skalarfunktion$f=\frac{G m_i m_j}{|\textbf{r}_i-\textbf{r}_j|^2}$.

Bearbeiten: Ich habe gerade die Antwort von Abhijeet Melkani gesehen, Sie können dort den allgemeinen Fall sehen. Mein Beispiel ist eine besondere Situation.