Hängende Masse aus Feder/ Setzpotential auf 0

Ich arbeite an einem Problem aus Taylors Classical Mechanics Book, und es hebt ein paar Probleme hervor, mit denen ich mich nie wirklich befasst habe (obwohl ich gute Noten in Mechanik und EM für Fortgeschrittene bekommen habe).

Hier sind die Fragen:

a ) Zeigen Sie, dass eine Feder, die dem Hookeschen Gesetz gehorcht, eine entsprechende potentielle Energie hat$U = \frac{1}{2}kx^2$wenn wir wählen$U$in der Gleichgewichtslage Null sein.

b) Wenn diese Feder senkrecht mit einer Masse aufgehängt wird$m$am anderen Ende aufgehängt und gezwungen, sich nur in vertikaler Richtung zu bewegen, finden Sie die Verlängerung$x_0$der neuen Gleichgewichtslage. Zeigen Sie, dass das Gesamtpotential (Feder plus Gravitation) die gleiche Form hat$\frac{1}{2}ky^2$wenn wir die Koordinate verwenden$y$gleich der Verschiebung, gemessen von der neuen Gleichgewichtsposition bei$x=x_0$, und definieren Sie unseren Bezugspunkt so neu, dass$U=0$bei$y=0$.

Was ich weiß

Ich weiß, dass wir das Potenzial eines Feldes als die Arbeit definieren, die aufgewendet wird, um ein Objekt von einem Referenzpunkt aus durch das Feld zu bewegen$x_0$an dem wir das Potenzial definieren$0$

$U(\vec{r}) = -\int_{\vec{r_0}} ^{\vec{r}}\vec{F}\cdot{d\vec{r}}~~$

Worüber ich mir nicht im Klaren bin Worüber ich mir nicht im Klaren bin ist, was wir tatsächlich mathematisch tun, wenn wir „Setzen$U =0$". Ich habe auf verschiedene Arten darüber nachgedacht und war mir nie ganz klar, was richtig ist:

1 ) Ich habe es als Anwendung des Fundamentalsatzes der Analysis betrachtet$U(\vec{r}) = -\int_{\vec{r_0}} ^{\vec{r}}\vec{F}\cdot{d\vec{r}} = -[U(\vec{r}) - U(\vec{r_0})]~~$

Bei dieser letzten Gleichheit bin ich etwas verwirrt (offensichtlich, weil ich gerade bewiesen habe, dass etwas seiner eigenen additiven Umkehrung entspricht).

Jetzt,$U(r_0)$verschwindet, weil wir ihn zu Null gewählt haben.

Bearbeiten Es wurde darauf hingewiesen, dass dies fehlerhaft ist, da die Stammfunktion der an einem Punkt bewerteten Kraft für sich genommen kein Potenzial ist.

2) Alternativ ändern wir unser Koordinatensystem so, dass wir den Ursprung wo platzieren$U = 0$. Angenommen, alle Potentiale hängen von der Position ab, so dass das Potential Null ist, wenn$\vec{r} = 0$, das funktioniert gut, aber ich weiß nicht, ob es exotische Potenziale gibt, die davon abhängen$\vec{r}$irgendwie anders.

Mein Lösungsversuch

1)

Fixiere ich meine Koordinatenachsen so, dass das nicht fixierte Ende der Feder im Ursprung liegt ($\vec{r}= 0$), erhalten wir, dass die zum Dehnen der Feder geleistete Arbeit ist:

$\int_0^x \vec{F} \cdot d\vec{r} = -\int_0^x kx'dx' = -\frac{kx'^2}{2}\big|_0 ^ x = -\frac{kx^2}{2}$.

Das funktioniert also, aber ich bin mir nicht sicher, ob ich die richtige "Einstellung" habe$U$am Referenzpunkt auf Null.

2)

Das Finden der neuen Gleichgewichtsposition ist einfach; Ich muss wissen, wann die Schwerkraft gleich der Federkraft ist; das ist wenn

Also unsere neue$x_0 = \frac{mg}{k}$

Der nächste Teil ist ziemlich verwirrend für mich; wenn wir unser neues Nullpotential auf die neue Gleichgewichtslage setzen, dann ist die Kraft auf die Feder$mg - ky$, Wo$y$ist die Verschiebung von diesem neuen Gleichgewicht, und ich lasse die Tatsache aus, dass dies Vektoren sind, da wir auf 1-D-Bewegung beschränkt sind. Dann ist das Potential für jede gegebene Verschiebung$\int_0^y (mg- ky )dy = mgy -\frac{ky^2}{2}$. Aber ich versuche zu zeigen, dass das Gesamtpotential in der Form liegt$-\frac{ky^2}{2}$. Was vermisse ich?

Bearbeiten wurde darauf hingewiesen, dass die von der Feder ausgeübte Kraft tatsächlich von ihrer Verschiebung aus ihrer Ruhelänge abhängt. So sollte das Potential sein$\int_0^y (mg- k(y-\frac{mg}{k})dy = -\frac{ky^2}{2}$

Jede Klarstellung zu diesen Themen wäre sehr willkommen.