Warum ist bei dieser Aufgabe die von der Feder verrichtete Arbeit nicht gleich dem Linienintegral der Federkraft über ihrem Weg?

In diesem Beispiel müssen wir davon ausgehen, dass die Feder so am Block befestigt ist, dass sie eine freie Drehung des unteren Endes der Feder ermöglicht, als ob sie am Block angelenkt wäre. In diesem Fall übt die Feder eine Kraft in Längsrichtung aus, so dass die in der Feder erzeugte Dehnung gleich der Differenz zwischen ihrer endgültigen und anfänglichen Länge ist. Dadurch erhalten wir die richtige Dehnung, denn wenn sich das untere Ende der Feder frei drehen kann, bleiben die erzeugte Dehnung und die Federkraft immer inline. Es ist also keine Integration erforderlich.

In der Formel$W= \frac {kx^2}{2}$, Die$x$ist die Ausdehnung in der Feder, nicht die Verschiebung des Blocks. Da die Feder schwenkbar ist und sich frei drehen kann, ist die Dehnung in der Feder immer parallel zur Kraft , selbst wenn die Verschiebung des Blocks einen gewissen Winkel mit der Kraft bildet . Somit gelten die Annahmen, die beim Ableiten der Formel getroffen wurden, immer noch.

Die Antwort kann auch durch die Methode erhalten werden, die Sie versucht haben, aber Sie haben einen Fehler bei der Herleitung gemacht. Aus der Abbildung habe ich die Gleichung bekommen

Mit dem Hookeschen Gesetz modellieren wir die Feder so, dass sie eine konservative Kraft liefert. Aus diesem Grund können wir die an einer Feder geleistete Arbeit berechnen, indem wir nur ihren Endzustand betrachten, unabhängig von der Geschichte, die zu diesem Zustand geführt hat. Es ist ähnlich, als würde man die Arbeit an einem Auto auf einer Achterbahnstrecke finden. Sie können seine Geschwindigkeit in Bezug auf ausdrücken$t$, nehmen Sie das Skalarprodukt mit der Schwerkraft und integrieren Sie, oder Sie können einfach die Nettoänderung der Höhe multipliziert mit ihrem Gewicht nehmen. Möglicherweise finden Sie es jedoch eine nützliche Übung, das Federproblem auf die "harte Weise" zu lösen, um zu verstehen, wie diese Berechnungen durchgeführt werden. Ihre Erklärung, wie Sie dies getan haben, hat mehrere Probleme.

Nach ein wenig Beobachtung fand ich heraus, dass dx gleich -0,4 dθ ist.

Es wäre hilfreich, wenn du zeigen würdest, wie du das berechnet hast. Wenn$x$ist die horizontale Entfernung, die der Block von Anfang an zurückgelegt hat, ich habe das, wenn$s$ist dann die ursprüngliche Federlänge$s+\Delta s$bildet die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Schenkeln$s$Und$x$, und Winkel$\theta$. Seit$\tan (\theta)$ist das Verhältnis zwischen den Beinen, die wir haben$\tan (\theta) = \frac s x$, oder$x = s\cot(\theta)$. Das gibt$dx = -s\csc^2(\theta)d\theta$. Du hast ein$.4$in Ihrem Ausdruck, der passt$s$, aber das hast du nicht$\csc^2(\theta)$. Das scheint Ihnen nicht aufgefallen zu sein$\frac{d\theta}{dx}$ist nicht konstant bzgl$x$.

Also Umstellung auf$\theta$wird ziemlich böse. Angenommen, wir integrieren stattdessen in Bezug auf$l$, Wo$l$ist die Gesamtlänge der Feder. Dann$s^2+x^2=l^2$und implizite Differenzierung gibt uns$2sds+2xdx=2ldl$.$s$ist eine Konstante, also$ds = 0$. Das gibt$dx = \frac l x dl$. Wir haben das$\cos (\theta) = \frac x l$, So$\cos(\theta)dx = dl$. Jetzt$\int k(\Delta s)\cos(\theta) dx$gerecht wird$\int k (\Delta s) dl$. Seit$l = s+\Delta s$,$\Delta s = l-s$, geben$\int k (l-s)dl$. Könnte man auch bzgl. integrieren$\Delta s$, aber ich wollte nicht schreiben$\int k (\Delta s)d(\Delta s)$.

Auch ein paar Anmerkungen zu MathJax: Das Formatierungssystem "kennt" einige mathematische Begriffe, wie "cos", und wenn man ihnen einen umgekehrten Schrägstrich voranstellt, werden sie in nicht kursiver Schriftart gesetzt. Das, sowie das Einschließen von Dingen in Klammern, macht Ausdrücke leichter lesbar. Zum Beispiel \int k(\Delta s)\cos(\theta) dx statt \int k\Delta s cos\theta dx.