Potentielle Energie eines Masse-Feder-Systems

Ich habe Probleme mit der Bestimmung der potentiellen Energie des unten abgebildeten Masse-Feder-Systems. Wir nehmen an, dass die Ausdehnungen aller 3 Federn Null sind, wenn X 1 = X 2 = 0 . Die potentielle Energie, die ich erhalten habe, ist anscheinend falsch. Folgendes habe ich getan:

U = 1 2 k X 1 2 + 1 2 k X 2 2 + 1 2 k ( X 1 + X 2 ) 2 = k ( X 1 2 + X 1 X 2 + X 2 2 ) ,
wo ich die potenzielle Energie jeder Feder separat betrachtet habe. Die Version des Notenschemas für U ist das:

k ( X 1 2 − X 1 X 2 + X 2 2 ) , also nehme ich für sie an, das PE für die mittlere Feder ist U M ich D = 1 2 k ( X 1 − X 2 ) 2 = 1 2 k ( X 2 − X 1 ) 2 . Also meine Vermutung ist, dass sie das angenommen haben X 1 ist negativ? Ist das die Ursache der Diskrepanz?

Masse-Feder-System

Betrachten Sie für die in der mittleren Feder gespeicherte potentielle Energie das System zweier Massen, die durch die Feder entspannter Länge verbunden sind ℓ . Verdrängen M 2 von rechts durch X 2 . Wenn M 1 an der Wand befestigt wurde hättest du einen Beitrag ∼ k X 2 2 . Aber M 1 wird auf diese Weise nicht eingeschränkt, sodass er sich durch die Verbindung und die neue Federlänge auch nach rechts bewegt ℓ + X 2 − X 1 .
Sie und @nicael verwechseln zwei voneinander unabhängige Probleme. Ein Problem sind die Anfangsbedingungen, die den Massen auferlegt werden. Sie können das Schwingsystem einstellen, indem Sie zunächst jede der Massen entweder nach links oder nach rechts verschieben. Das zweite Problem ist Ihre Wahl der positiven x-Achsenrichtung. Die Wahl der gleichen Richtung für beide Massen ist normalerweise die bevorzugte Wahl. In diesem Fall, 1 2 k ( X 2 − X 1 ) 2 ist richtig.

Antworten (1)

Betrachten Sie ein etwas anderes Diagramm:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die Verlängerungen (Verschiebung des Endes einer Feder aus der ungedehnten Position) der drei Federn sind X 1 X ^ , X 2 X ^ 2 Und ( X 2 − X 1 ) X ^ Wo X 1 Und X 2 sind die Komponenten der Verschiebungen in der X ^ Richtung.
Beachten Sie, dass Komponenten X 1 Und X 2 kann entweder negativ oder positiv sein.

Dies ergibt die gesamte potentielle Energie, die in den drei Federn gespeichert ist 1 2 k X 1 2 + 1 2 k X 2 2 + 1 2 k ( X 2 − X 1 ) 2

Wenn X 1 = X 2 dann ist in der mittleren Feder keine elastische potentielle Energie gespeichert, wie man erwarten würde.

Also meine Vermutung ist, dass sie das angenommen haben X 1 ist negativ?

Wenn die Verschiebung des Endes der linken Feder wie in Ihrem Diagramm gezeigt ist, bleibt die Verlängerung der mittleren Feder bestehen ( X 2 − X 1 ) X ^ aber in diesem Fall die Komponente X 1 wird einen negativen Wert haben, also werden Sie am Ende mit ( X 2 − ( − | X 1 | ) ) = ( X 2 + | X 1 | ) als Verlängerung der mittleren Feder.

Das ist in der Tat richtig, aber es scheint nicht der Fall zu sein, nur weil das Bild dies deutlich zeigt X 1 Und X 2 haben entgegengesetzte Richtung, oder doch?
@nicael Normalerweise wird nur eine Richtung als positiv definiert. In diesem Beispiel habe ich vorgeschlagen, dass es so ist X ^ .
Das ist eine ziemlich lange Art zu sagen: "Ja, du hast Recht."
@sammygerbil Sie sagen also, dass die Richtungen der Pfeile im Diagramm die positiven Richtungen definieren?
Ich sage, dass Ruslan die Quelle der Diskrepanz bereits identifiziert hat. Es gibt keinen Grund, warum die Richtungen im Diagramm nicht die +ve-Richtungen für definieren können X 1 , X 2 . Aber diese Konvention widerspricht der Antwort, die im Bewertungsschema gegeben wird.
Potentielle Energie eines Masse-Feder-Systems
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