Potenzielle Energie von Federn und Schwerkraft und Arbeit einer Kraft

Wenn$\theta = 0$die Federdehnung Null ist und dies als Null der potenziellen Energie der Gravitation angenommen wird.

Mit der Stange in einem Winkel$\theta$aus der Geometrie des Systems finden Sie die Erweiterung$x$der Feder und der vertikalen Höhe$h$durch die der Schwerpunkt des Stabes gefallen ist.

Die potentielle Energie des Systems$V = \frac 12 k x^2 - mgh$

Unterscheiden$V$gegenüber$\theta$.

$\frac {dV}{d\theta} =0$ist die Bedingung für das Gleichgewicht und lösen Sie die resultierende Gleichung für drei Wert von$\theta$, von denen einer leicht zu finden ist, aber die anderen beiden etwas schwieriger sind.

Differenzieren Sie erneut, um zu erhalten$\frac {d^2V}{d\theta^2}$und geben Sie Ihre drei Werte von ein$\theta$um zu entscheiden, welche Art von Gleichgewicht es für jeden der Werte von ist$\theta$.

Der "einfachste" Weg, dies zu lösen, ist die Verwendung von Energie, wie vom OP und von Farcher vorgeschlagen. Beginnen Sie mit der Summierung der Gravitations- und Federpotentialenergien wie folgt:

$$E = -mg\frac{l}{2} sin\theta + \frac 12 kx^2$$

x ist durch folgende Beziehung gegeben (die Feder ist immer gespannt):

$$x=lsin\theta+lcos\theta-l=l(sin\theta+cos\theta-1)$$

Damit ergibt sich für die Gesamtenergie folgende Gleichung:

$$E = -mg\frac{l}{2} sin\theta + \frac 12 kl^2(sin\theta+cos\theta-1)^2$$

Die Differenzierung ergibt:

$$\frac{dE}{d\theta} = -mg\frac{l}{2} cos\theta + kl^2(cos^2\theta-sin^2\theta-cos\theta+sin\theta)$$

(Ich bin zu derselben Gleichung gekommen, indem ich die Kräfte ausgeglichen habe, also scheint dies richtig zu sein.) Wo dies gleich Null ist, ergeben sich die Gleichgewichtspunkte. Unter Verwendung der folgenden Beziehungen:

$sin^2\theta=1-cos^2\theta$

$sin\theta=\sqrt{1-cos^2\theta}$

das obige kann umgeschrieben werden als:

$$0 = -mg\frac{l}{2} cos\theta + kl^2(2cos^2\theta+\sqrt{1-cos^2\theta}-cos\theta-1)$$

Dies kann gelöst werden, um zu finden$cos\theta$, aber es ist ein bisschen schwierig. Wenn du alles ausmultiplizierst,$cos\theta=0$fällt als Lösung aus, was erwartet wird ($\theta=\frac\pi2$). Dies hinterlässt dann jedoch eine zu lösende kubische Gleichung$cos\theta$, was ein bisschen unangenehm ist (es kann von Hand gelöst werden, aber es scheint nicht so, als würde die Antwort gut herausfallen).

Es war nicht meine Vorstellung von einem lustigen Abend, also habe ich geschummelt und die Energiegleichung vs$\theta$mit einem Grafiktool:

Das sieht plausibel aus, da es bei Nullenergie durchgeht$\theta=0$und hat den erwarteten Gleichgewichtspunkt bei$\theta=\frac \pi2$. Die anderen beiden Gleichgewichtspunkte liegen bei$\theta=0.169$Radiant (9,68 Grad), was stabil ist, und$\theta=0.591$Radiant (33,9 Grad), was instabil ist.

Bei 9,68 Grad gibt es also einen stabilen Gleichgewichtspunkt, aber wenn Sie den Strahl über 33,9 Grad (instabil) hinausschieben, fällt er auf das nächste stabile Gleichgewicht bei$\theta=\frac\pi2$.

Meine Vermutung:
$\theta = 0$ist möglicherweise nicht im Gleichgewicht, denn wenn Sie aufhören, die A-Box zu halten, fällt sie herunter.
bei$\theta = 90$könnte ein neutrales Gleichgewicht sein (ich nehme an, die Feder kann durch das Rad zur Seite von Box A passieren), da die Feder keine Spannung aufweist und die Normalkraft auf die B-Box die Schwerkraft ausgleicht (vorausgesetzt, die B-Box ist es nur auf die horizontale Ebene beschränkt und fällt nicht).

Wenn wir nun annehmen, dass die Feder durch das Rad zur Seite von Box A gehen kann (eine andere Sichtweise ist, dass die gesamte Saiten- und Federbaugruppe nur aus Federn besteht), dann ist die Spannung (Spannung aufgrund der gedehnten Feder) auf Seite A (nach oben) ist gleich der Spannung auf Seite B (nach links). Nun, in Anbetracht dessen,$T = F = k(x-x_0)$wobei x die Gesamtlänge der Saiten-Feder-Anordnung ist, und$x_0$ist die ungedehnte Strecke l. Die Gesamtlänge kann durch Addieren der Länge von Seite A und der Länge von Seite B (das sind nur die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse l) ermittelt werden.

Das könnte ein hilfreicher Hinweis sein.
Wenn Sie also meiner Idee zustimmen, könnte es sein, dass die Feder beim Fallen von A nicht komprimiert, sondern gedehnt wird.