Wieso gilt die Formel W=FdW=FdW=Fd nicht für die in Federn gespeicherte Energie?

Weil$W = Fd$gilt nur für einen ganz speziellen Fall. Die allgemeine Definition von Arbeit wird über gegeben

$$W = \int_\gamma \vec F (\vec r) \cdot \text{d}\vec r$$ Wo$\gamma$stellt eine Flugbahn dar$\mathbb{R}^3$Und$\vec F (\vec r )$stellt ein Vektorfeld dar. Der Fall wo$W=Fd$gilt wann$\vec F (\vec r)$über den ganzen Raum konstant ist und die Bahn parallel zur Kraft verläuft. Zum Beispiel beim Ziehen eines Massesteins$m$zur Höhe$d$in einer geraden Linie entlang der$z$-Achse bekommen wir $$W = \int_\gamma \vec F (\vec r) \cdot \text{d}\vec r = \int_0^d mg\ \text d z = mgd\ \hat{=}\ Fd.$$ Aber die Kraft beim Drücken oder Ziehen einer Feder ist proportional dazu, wie stark Sie daran gezogen haben - es hängt von der Position ab. So sehen wir, wenn wir eine Feder um eine Länge verlängern$l$entlang der$x$-Achse bekommen wir $$W = \int_\gamma \vec F (\vec r) \cdot \text{d}\vec r = \int_0 ^l kx\ \text d x = \frac 1 2 k l^2\ \hat{=}\ \frac{F(l)\,l} 2$$ Hinweis : Die Vorzeichen hängen von dem System ab, das Sie betrachten, daher hätten Sie bei bestimmten Systemen ein Minuszeichen mit der Kraft.

Ich denke, dass diese Frage eher ein Missverständnis der Analysis als des der Physik zeigt.

Für konstante Kräfte ist die Arbeit definiert als:

$$W = F \cdot s$$

Um dies anzuwenden, um die Arbeit variabler Kräfte zu berechnen

Betrachten Sie ein Verlängerungsintervall$(x_o, x_o+h)$, wenn wir die Größe von verkleinern würden$h$sehr klein werden, dann können wir sagen, dass die Kraft in diesem betrachteten Intervall mehr oder weniger konstant ist, und daher können wir die Definition der Arbeit für konstante Kraft anwenden:

$$\Delta W = F \Delta h$$

Schrumpfung$h$auf Null und Summieren dieser Menge über alle möglichen Intervalle von$x_o$Zu$x_{f}$, Wo$x_f$die letzte Verschiebung ist, erhalten wir die Arbeit durch ein Integral:

$$W = \int_{x_o}^{x_f} F dh$$