Ist es möglich, immer ein Potential zu finden, das mit einer Kraft verbunden ist (auch wenn sie nicht konservativ ist)?

Question

Ist es möglich, immer ein Potential zu finden, das mit einer Kraft verbunden ist (auch wenn sie nicht konservativ ist)?

StarBuck

Ich bin total verwirrt von den nichtkonservativen Kräften.

Ich weiß, dass eine nicht konservative Kraft entweder eine Kraft ist, für die die Arbeit wegunabhängig ist (und nur von den Grenzen abhängt), oder in äquivalenter Weise eine Kraft, die von einem Potenzial abhängt.

Aber für mich ist es immer möglich, ein solches Potenzial zu finden.

Ich nehme das typische Beispiel der Reibung als nicht konservative Kraft.

Ich habe

δ W = F D X = - k \frac{D X}{D T} D X

$\delta W = F dx = -k \frac{dx}{dt} dx$

Ich werde die vergessen $-k$ denn es ist nicht sehr wichtig für das, was ich sagen will.

Nehmen wir an, ich habe eine bijektive Bewegung, ich kann schreiben $x=f(t)$ Und $t=f^{-1}(x)$

Daher,

\frac{D X}{D T} (T) = \frac{D X}{D T} (F^{- 1} (X)) = G (X)

$\frac{dx}{dt}(t)=\frac{dx}{dt}(f^{-1}(x))=g(x)$

Und ich kann immer ein Primitiv finden, das mit verbunden ist $g(x)$ : $G'(x)=g(x)$ .

Somit habe ich

δ W = G (X) D X = D G

$\delta W=g(x)dx=dG$

Somit ist die Kraft konservativ. Ich verstehe nicht.

Hier habe ich zwei Hauptannahmen getroffen:

Bijektive Bewegung
Existenz des Primitiven

Ich denke, die zweite Annahme ist nicht das Problem (das muss ich nur annehmen $f$ ist kontinuierlich).

Vielleicht hängt das Problem mit der ersten Annahme zusammen, vielleicht für die bijektive Bewegung dazwischen $x$ Und $t$ die Kräfte sind immer konservativ.

Aber ich denke, mein Fehler liegt woanders, aber da ich ihn wirklich nicht finde, bitte ich um Hilfe.

Ich hätte gerne eine Antwort, die mit der "kleinen Mathematik" verknüpft ist, die ich hier mit Ableitungen und Grundelementen verwendet habe.

unbehandelte_paramediensis_karnik

Ich glaube nicht, dass "bijektive Bewegung zwischen

x

$x$ Und

t

$t$ " impliziert, dass die Kraft(en) konservativ ist. Als Beispiel eine Masse oder ein Teilchen, das sich in einer geradlinigen Bewegung bewegt, bis es kollidiert und sofort mit einer Wand interagiert, so dass es mit einer geringeren Geschwindigkeit in eine andere Richtung zurückprallt (oder wenn Sie Wenn Sie augenblickliche Zeiten nicht mögen, können Sie sich vorstellen, dass die Masse oder der Ball für eine endliche Zeit größer als 0 s über die Wand rollt.) In diesem Fall ist die Bewegung in dem Sinne bijektiv, dass sie für alle gegebenen Zeiten gilt

x

$x$ , kann man abrufen

t

$t$ eindeutig. Doch die Kräfte, die wirkten (oder wirken) auf

unbehandelte_paramediensis_karnik

Das System ist nicht konservativ. Beachten Sie auch, dass konservative Kräfte auch keine "Bijektion der Bewegung" implizieren. Nehmen Sie eine Masse auf eine Feder, mit oder ohne Reibung. In beiden Fällen gibt es im Allgemeinen keine Bijektion der Bewegung, weil gegeben

x

$x$ , kann man keine eindeutige Entsprechung finden

t

$t$ . Bei Reibung (gedämpfte harmonische Bewegung) ist eine Rückholung möglich

t

$t$ für einige

x

$x$ 's, aber nicht für alle

x

$x$ 'S.

Antworten (2)

Ist es möglich, immer ein Potential zu finden, das mit einer Kraft verbunden ist (auch wenn sie nicht konservativ ist)?

Ich glaube nicht, dass "bijektive Bewegung zwischen $x$ Und $t$ " impliziert, dass die Kraft(en) konservativ ist. Als Beispiel eine Masse oder ein Teilchen, das sich in einer geradlinigen Bewegung bewegt, bis es kollidiert und sofort mit einer Wand interagiert, so dass es mit einer geringeren Geschwindigkeit in eine andere Richtung zurückprallt (oder wenn Sie Wenn Sie augenblickliche Zeiten nicht mögen, können Sie sich vorstellen, dass die Masse oder der Ball für eine endliche Zeit größer als 0 s über die Wand rollt.) In diesem Fall ist die Bewegung in dem Sinne bijektiv, dass sie für alle gegebenen Zeiten gilt $x$ , kann man abrufen $t$ eindeutig. Doch die Kräfte, die wirkten (oder wirken) auf
Das System ist nicht konservativ. Beachten Sie auch, dass konservative Kräfte auch keine "Bijektion der Bewegung" implizieren. Nehmen Sie eine Masse auf eine Feder, mit oder ohne Reibung. In beiden Fällen gibt es im Allgemeinen keine Bijektion der Bewegung, weil gegeben $x$ , kann man keine eindeutige Entsprechung finden $t$ . Bei Reibung (gedämpfte harmonische Bewegung) ist eine Rückholung möglich $t$ für einige $x$ 's, aber nicht für alle $x$ 'S.

Thomas Bakx · Answer 1

Thomas Bakx

Auch wenn es möglich sein mag, eine „bijektive Bewegung“ für eine bestimmte Trajektorie zu haben , ist es nicht möglich, eine Funktion zu finden, die dies für alle Trajektorien tut.

Ein Potential (für das Kraftfeld) hat die Eigenschaft, dass die von der Kraft auf einem beliebigen Weg geleistete Arbeit durch die Wertdifferenz des Potentials am Anfangs- und Endpunkt gegeben ist.

Ich hoffe das hilft!

unbehandelte_paramediensis_karnik

Ich sehe nicht, wie dies die Frage beantwortet. Wie löst dies die Zweifel an der bijektiven Bewegung und der Existenz des Primitiven?

StarBuck

@no_choice99 Eigentlich ist es eher so, dass es nicht möglich ist, für alle Trajektorien das gleiche Potenzial zu finden. Wenn meine Kraft von der Form ist

F (t)

$F(t)$ und ich habe

t = f (x)

$t=f(x)$ , Dann

F (f (x))

$F(f(x))$ ist meine Kraft, die in Funktion der Position geschrieben wird. Und somit hängt diese Funktion aufgrund der Funktion tatsächlich von der Trajektorie ab

f

$f$ . Daher ist es nicht möglich, für alle Trajektorien das gleiche Potenzial zu haben.

QMechaniker · Answer 2

Fazit: Für ein (möglicherweise geschwindigkeitsabhängiges) Potential $U=U({\bf r},{\bf v},t)$ , die definierende Kraft-Potenzial-Beziehung
$\begin{matrix} (A) & F = \frac{D}{D T} \frac{\partial U}{\partial v} - \frac{\partial U}{\partial R} \end{matrix}$ ${\bf F}~=~\frac{d}{dt} \frac{\partial U}{\partial {\bf v}} - \frac{\partial U}{\partial {\bf r}} \tag{A}$ muss in jedem Punkt des (Tangenten-) Konfigurationsraums ohne Verwendung von Bewegungsgleichungen oder einer bestimmten Trajektorie erfüllt werden.
Siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag für einen Beweis, dass eine Klasse dissipativer Kräfte keine (möglicherweise geschwindigkeitsabhängigen) Potentiale hat.

Ist es möglich, immer ein Potential zu finden, das mit einer Kraft verbunden ist (auch wenn sie nicht konservativ ist)?

StarBuck

unbehandelte_paramediensis_karnik

unbehandelte_paramediensis_karnik

Antworten (2)

Thomas Bakx

unbehandelte_paramediensis_karnik

StarBuck

QMechaniker

Unter der Annahme des dritten starken Newtonschen Gesetzes, warum ist ∇V(|ri−rj|)=(ri−rj)f∇V(|ri−rj|)=(ri−rj)f\nabla V(\vert {\bf r }_i-{\bf r}_j\vert)=({\bf r}_i-{\bf r}_j)f?

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