Wie ist die Beziehung zwischen Beweis in der Mathematik und Beobachtung in der Physik?

Dieser Standpunkt wird besser widergespiegelt, wenn wir im Titel „Beobachtung“ in „Experiment“ ändern, bloße Beobachtung ist eher analog zu Vermutungen, daher kann es etwas irreführend sein. So formulierten es Jaffe und Quinn in ihrem ursprünglichen Vorschlag von 1992: „ Wir behaupten, dass die Rolle des strengen Beweises in der Mathematik funktional analog zur Rolle des Experiments in den Naturwissenschaften ist … Wir verwenden den Begriff theoretische Mathematik für das spekulative und intuitives Arbeiten; wir bezeichnen die beweisorientierte Phase als strenge Mathematik ". Und sie lehnten es ausdrücklich ab, "experimentelle Mathematik" im Sinne des OP zu verwenden, für sie ist "experimentelle Mathematik" Teil der "theoretischen Mathematik":

" Obwohl die Verwendung von Beweisen in der Mathematik funktional parallel zum Experiment ist, schlagen wir nicht vor, Beweise als "experimentelle" Mathematik zu bezeichnen. Es gibt bereits eine gut etablierte und angemessene Verwendung dieses Begriffs, nämlich um sich auf numerische Berechnungen zu beziehen und Computersimulationen als Tests mathematischer Konzepte. Tatsächlich werden Ergebnisse von Computerexperimenten häufig auf eine Weise präsentiert, die wir als theoretisch bezeichnen könnten . Wir hatten eine Diskussion verwandter philosophischer Fragen in Was macht etwas zu Mathematik?

Der Vorschlag und Antworten einiger führender Mathematiker und Physiker (Atiyah, Mandelbrot, MacLane, Witten usw.) sind auf arxiv verfügbar . Die meisten Antworten sind negativ, beziehen sich jedoch hauptsächlich auf die Idee von Jaffe und Quinn, ihre Trennung zwischen theoretischer und strenger Mathematik zu institutionalisieren und theoretische Mathematik zu einer eigenständigen Disziplin zu machen. Die bloße These, dass strenge Beweise in der Mathematik ebenso der Validierung dienen wie Experimente in der Physik, ist kaum umstritten. Wenn überhaupt, argumentieren die meisten Antwortenden, dass der heuristische Aspekt für das normale Funktionieren der Mathematik wesentlich ist und die Abspaltung von "strenger Mathematik" ihn sterilisieren würde.

Martin-Löf nahm nicht teil, aber ein anderer Konstruktivist, Chaitin, tat es. Er unterstützt weitgehend die Idee der theoretischen Mathematik und verwendet die Unvollständigkeit, um zu argumentieren, dass ihre Methoden im Prinzip unvermeidlich sind:

„ Der informationstheoretische Ansatz zur Unvollständigkeit lässt Unvollständigkeit allgegenwärtig und natürlich erscheinen ... Ich glaube daher, dass die elementare Zahlentheorie etwas mehr im Geiste der experimentellen Wissenschaft betrieben werden sollte. Euklid erklärte, dass ein Axiom eine selbstverständliche Wahrheit ist, aber Physiker sind es bereit, neue Prinzipien wie die Schrödinger-Gleichung anzunehmen, die nicht selbstverständlich sind, weil sie äußerst nützlich sind. Vielleicht sollten sich Zahlentheoretiker, auch wenn sie elementare Zahlentheorie betreiben, ein wenig mehr wie Physiker verhalten und sich manchmal neue Axiome zu eigen machen . Seine nachfolgende Arbeit Randomness & Complexity in Pure Mathematics entwickelt diese Argumentationslinie weiter.

Aber wenn ich den letzten Absatz richtig verstehe, ist das, wonach Sie suchen, vielleicht eher MacLanes energische Verteidigung der "rigorosen Mathematik" und der Rolle des unbestechlichen Beweises als Wahrheitspfeiler darin. Für ihn halten Jaffe und Quinn die „theoretische Mathematik“ zu hoch , „ Jaffe und Quinn missbrauchen das Wort „Theoretisch“ als Bezeichnung für das, was wirklich Spekulation ist “. In seinem von Synthese herausgegebenen Werk „ Trotz Physikern ist der Beweis unerlässlich in der Mathematik “ führt er aus:

„ Die Antwort hängt von einem richtigen Verständnis der Philosophie der Mathematik ab … Mathematik ist jener Teil der Wissenschaft, der in mehr als einem empirischen Kontext gilt … Die für diese Formulierung benötigten Axiome müssen dann so sein, dass sie in allen Beispielen gelten ... Und wie ist es mit den Konsequenzen dieser Axiome? Sie werden nicht durch Beispiele begründet, sondern durch Beweise – strenge Beweise –, die den logischen Beweiskanonen folgen. Mit anderen Worten, Beweis (und nicht Experiment oder Spekulation) ist was ist in dem gesamten Teil der Wissenschaft erforderlich, der Mathematik ist, und diese Anforderung besteht aufgrund der Natur der Mathematik .

Ich habe keine Antwort auf die geforderten Begriffe für Sie, aber es gibt eine Beobachtung von Aristoteles ( Physik VIII.3 ), die Sie vielleicht treffend finden:

Was die Bewegung betrifft, so wäre es seltsam, wenn wir die Abwärtsbewegung eines Steins nicht bemerken würden; wir übersehen auch nicht, dass es auf der Erde ruht.

Es ist fast so, als ob Aristoteles die populäre Kritik an der griechischen Wissenschaft in der Antike vorwegnimmt und sie beantwortet. Aber die prosaische Antwort ist wahrscheinlicher, dass er zu seiner Zeit und an seinem Ort mit ähnlichen Kritikern konfrontiert war, anstatt ein Philosoph zu sein, der in der Lage war, Vorhersagen oder Prophezeiungen zu machen.

Der Punkt hier ist, dass die experimentelle Beobachtung auf präzise und einheitliche Weise eine Baconsche Innovation war. Er theoretisierte und lobte es, aber die ältere Vorstellung davon, was eine Beobachtung ausmacht, gilt – wenn man einfach die Natur selbst als Labor nimmt.

Das verlinkte Papier von 1993 enthält einen ernsthaften Kritiker der damaligen Praktiken in der theoretischen Physik:

Diese Unzuverlässigkeit ist sicherlich ein Problem in der theoretischen Physik, wo die Primärliteratur oft so irrelevant wird, dass sie pauschal aufgegeben wird. IM Singer hat die Physikliteratur mit einer Tafel verglichen, die regelmäßig gelöscht werden muss. Physiker ziehen traditionell viel weniger Nutzen aus dem historischen Hintergrund eines Problems, und sie sind weniger geneigt, die Literatur zu durchsuchen. Die Zitationshalbwertszeit von physikalischen Arbeiten ist viel kürzer als in der Mathematik.

Eine ähnliche Kritik wird an der Praxis der Veröffentlichung von Forschungsankündigungen angebracht:

Einige Bereiche der russischen Schule für Mathematik haben umfangreiche Traditionen theoretischer Arbeit, die normalerweise durch verfrühte Forschungsankündigungen durchgeführt werden. Von den zahlreichen möglichen Beispielen nennen wir nur zwei. [...] 1954 gab Kolmogorov bekannt, [...] Beweise wurden von Arnold 1959 für den analytischen Fall und von Moser 1962 für den glatten Fall erbracht.

[...] 1973 veröffentlichten die angesehenen Mathematiker Dobrushin und Minios eine Ankündigung dieses Ergebnisses. Als zwei Jahre später von den Russen kein Hinweis auf einen Beweis kam, nahmen Glimm, Jaffe und Spencer ihre Arbeit an dem Problem wieder auf und lieferten schließlich zwei verschiedene Beweise. Ein paar Jahre später veröffentlichten Dobrushin und Minios einen Widerruf ihrer ursprünglichen Ankündigung.

Das Papier weist auf die verheerenden Folgen ähnlicher Praktiken in der Mathematik in der Vergangenheit hin und versucht, Lösungen vorzuschlagen, wie diese Folgen vermieden und theoretisches Arbeiten ermöglicht werden können:

Theoretische Arbeiten sollten ausdrücklich als theoretisch und unvollständig anerkannt werden; insbesondere muss ein Großteil des Verdienstes für das Endergebnis der rigorosen Arbeit vorbehalten werden, die es validiert.

Für Forschungsankündigungen (die die Meinung der Autoren offenlegen) wird nur eine Lösung vorgeschlagen:

Forschungsankündigungen sollten nicht veröffentlicht werden, außer als Zusammenfassungen von Vollversionen, die zur Veröffentlichung angenommen wurden. Bei Zitaten unveröffentlichter Arbeiten sollte klar zwischen Ankündigungen und vollständigen Vorabdrucken unterschieden werden.

Ich konnte die Hirzebruch-Vorlesung 2015 in Bonn nicht aufrufen. Interessant wäre sicherlich, ob Jaffe glaubt, dass die problematischen Praktiken immer noch bestehen, oder ob er eher über den Erfolg seiner Lösungsvorschläge berichtet.

Auch wenn dies möglicherweise nicht die Antwort ist, auf die der Fragesteller gehofft hat, enthält die Frage deutlich diesen Link zum 13-seitigen Meinungsartikel und einen Link zu einem nicht verfügbaren Vortrag. Daher sollte darauf hingewiesen werden, dass der Meinungsartikel starke Aussagen enthält, die (auch wenn sie wahr sein mögen) alle möglichen Diskussionen über Einzelheiten der vorgeschlagenen Analogien, die in dem Meinungsartikel verwendet werden, überschatten.

Jaffe rechtfertigt es, "experimentelle Mathematik" für die Aktivität des Findens von Beweisen für Theoreme zu sagen durch:

Eine relevante Beobachtung ist, dass die meisten theoretischen Physiker ihren experimentellen Kollegen gegenüber sehr respektvoll sind. Die Beziehungen zwischen Physik und Mathematik wären erheblich einfacher, wenn Physiker Mathematiker als "intellektuelle Experimentatoren" anerkennen würden, anstatt sie verächtlich als nutzlos zwanghafte Theoretiker zu betrachten. Die typische Einstellung von Physikern zur Mathematik wird durch eine Passage aus einem Buch von PW Anderson veranschaulicht: „Wir sprechen hier von theoretischer Physik, und deshalb ist mathematische Strenge natürlich irrelevant und unmöglich.“

Damit wird deutlich, dass Jaffe hier von soziologischen Phänomenen spricht. Da innerhalb der mathematischen Gemeinschaft selbst kein vergleichbares Phänomen existiert (oder existierte), war es nie notwendig, diese Art von Gefühl von Typentheoretikern wie Martin-Löf zu äußern. Die enge Beziehung zwischen Überprüfbarkeit, Falsifizierbarkeit und Aussagekraft einerseits und experimenteller Beobachtung in der Physik, Strenge und Beweis in der Mathematik und dem Fehlen metaphysischer Spekulationen in der Philosophie wurde von den Befürwortern des logischen Positivismus deutlich zum Ausdruck gebracht .