Inwiefern sind Beweise nur Argumente, die uns überzeugen, keine Argumente, die die Wahrheit begründen?

Hier gibt es ein paar Dinge zum Aufheben.

Erstens gibt es einen Unterschied zwischen Beweisbarkeit in einem formalen System und "Wahrheit", was eine Frage der Beziehung zwischen sprachlichen Handlungen und Tatsachen ist. Die Aussage "Juh mapple Neele" ist weder wahr noch falsch, sondern Unsinn, es sei denn, sie wird als schlecht ausgesprochene Version des französischen Ausdrucks Je m'appele Niel erkannt . Die Existenz einer Entsprechung zwischen den Äußerungen und Tatsachen ist notwendig, um eine sinnvolle Vorstellung von gesprochener Wahrheit zu haben. Ebenso ist Ihre Zeichenfolge $$$$$, die durch Transformationen von erhältlich ist, $$$$nicht "wahr", es sei denn, Sie stellen eine Übereinstimmung zwischen ihr und einem Modell her. Das heißt, Sie haben nichts dafür bereitgestellt, um wahr$$$$$ zu sein , noch eine Vorstellung davon, was es bedeuten würde, wenn es wahr wäre.

Natürlich haben Französisch – und Englisch und alle anderen natürlichen Sprachen – keine formale Spezifikation dafür, wie sie der Realität entsprechen. Wir lernen die Beziehung zwischen Sprache und Realität mehr oder weniger durch Korrelationen und indem wir uns voneinander abhängig machen, um meistens zusammenzuarbeiten, um die konventionelle Korrespondenz zwischen Sprache und Realität zu verstärken. Wenn wir versuchen würden, die Korrespondenz zu beschreiben, wäre es nur mit mehr Sprache; ebenso wie wir dazu neigen, die Mathematik zu verwenden, um Aussagen über die Metamathematik zu machen, und manchmal versuchen, die Logik durch Boolesche Algebren zu beschreiben. Unser formaler Gebrauch von Logik ist eine sorgfältig verfeinerte Assoziationsfähigkeit, eine verfeinerte Art von Aktivität, die der natürlichen Sprachverwendung entspricht und diese allgemeinere Fähigkeit zu Skalpellschärfe und -starrheit schärft.

Abgesehen davon, woher wissen wir, dass wir logisch richtig argumentieren? Lewis Caroll (bekannt aus Alice im Wunderland ) schrieb genau zu diesem Thema über den logischen Rückschritt in der Gewissheit der Beweisbarkeit in „ What the Tortoise said to Achilles“ (Was die Schildkröte zu Achilles sagte) . Die Moral von der Geschichte ist: Wenn Sie ausreichend skeptisch sind, wie man logische Schlußregeln anwendet, dann ist keine logische Schlussfolgerung zu ziehen, weil Sie nicht beweisen können, dass Sie etwas richtig bewiesen haben, ohne die Skepsis gegenüber dem Beweis einfach auf ein weiteres zu setzen Löschen. Die Inferenzregeln sind bewährte Methoden, um Satzumformungen so zu erhalten, dass der Fehler der Aussage minimal erhöht wird. In seiner Rolle in formalen Ableitungen kann es als eine Art Tanzschritt angesehen werden– eine einfache Bewegung, die als Teil einer komplizierteren Korreographie präziser Bewegungen gemeistert werden muss, um eine Botschaft zu übermitteln, die von anderen interpretiert wird, die die Übereinstimmung des formalen Systems mit anderen Denk- und Vorstellungssystemen kennen, die manchmal aus einer physischen Realität oder einer Karikatur bestehen davon.

Wenn Sie sich Ihrer Fähigkeit, einfache Bewegungen auszuführen, zB einfache Sprechakte, nicht zutrauen, dann wird Sie kein sprachliches Argument davon überzeugen, dass Sprache der Realität entspricht; und dasselbe gilt für die formale Logik. Was uns die formale Logik erlaubt, ist zu prüfen, ob ein Argument Schritte enthält, denen wir nicht sehr vertrauen. Das heißt, wenn wir ausreichend skeptisch sind, können wir bestenfalls sagen, dass wir darin keine offensichtlichen Fehler finden können die Begründung; der komplementäre Fall ist, wenn wir offensichtliche Fehler finden können, wie in einer ungültigen Ableitung. Natürlich ist es möglich, Fehler zu machen, wenn man einen Argumentationsschritt als ungültig identifiziert, aber zumindest bietet es uns die Möglichkeit, zu versuchen, seine Unwahrheit zu demonstrieren, indem man versucht, sich eine Widerlegung der behaupteten Aussage vorzustellen, indem man sich auf die Konsequenzen von konzentriert der Fehltritt. Dann können wir versuchen, unsere Ressourcen einzusetzen, wenn wir befürchten, schlecht argumentiert zu haben, um zu fragen, ob die zu beweisende Aussage oder die imaginäre Widerlegung mit unseren Modellen kohärenter erscheint.

Natürlich könnte man in Bezug auf die kapitale Wahrheit sagen, dass jeder Anspruch, Zugang zur absoluten Wahrheit zu haben, einen Akt der Hybris darstellt: dass die Welt notwendigerweise so einfach ist, dass sie von einem Verstand vollständig verstanden werden kann, der bequem in einem Kubikfuß enthalten ist Platz. An alle, die mit den Phänomenen der Turbulenz und Quantenmechanik oder der mathematischen Konstruktion von Fraktalen oder seltsamen Attraktoren oder tatsächlich dem Halteproblem und dem P vs. NP vertraut sindProblem – kurz gesagt, die mathematischen Entdeckungen oder Probleme des 20 die Komplexität der Welt, oder so ausgeklügelt, dass sie nur als Skript existiert, das absichtlich und sorgfältig aufgezeichnet wurde; das Wissen besteht eher in der Fähigkeit, die Aufzeichnung als eine Art Ritual zu entschlüsseln und zu rezitieren, um eine Handlung in der Welt zu unternehmen, von der die Aufzeichnung irgendwie eine unvollständige, aber möglicherweise hilfreiche Skizze darstellt. Die formale Logik ist eine Schule solcher rituellen Vollzüge, die einen besonders zuverlässigen Weg beschreibt, solche Rituale zu formulieren und durchzuführen.

Logik ist kein Garant für Wahrheit, sondern lediglich (!) ein sehr mächtiges Werkzeug zur präzisen Argumentation, das sich als sehr zuverlässig erweist, auch wenn es für viele Menschen schwierig ist, es sorgfältig zu handhaben. Wie bei jedem Werkzeug ist es nur so zuverlässig wie die Person, die es verwendet. Aber irgendwie können wir, wie bei den Werkzeugen der Kunst und des Bauens, oft erkennen, wenn jemand es geschickt eingesetzt hat, und nach Idealen streben, die nicht nur präzise, ​​sondern auch elegant und kunstvoll mit diesem Werkzeug umgehen – das schließlich eine Form ist der Sprache.

Die Rolle der formalen Logik ist, kurz gesagt, eine Form der Übung, bei der versucht wird, sorgfältig zu argumentieren und zu lernen, wie sorgfältiges Denken aussieht. Aber es kann niemanden das Denken lehren oder gutes Denken garantieren, ohne bereits über einige Grundkenntnisse zu verfügen.

Ich denke, einige Frege/Hilbert-Ideen könnten dabei helfen, in dieser Frage voranzukommen, da sich die Frege-Hilbert-Korrespondenzen in vielerlei Hinsicht genau um diese Frage der Natur mathematischer Axiome und darum drehten, worum es bei Beweisen, die sie verwenden, wirklich geht.

Nehmen wir an, wir haben eine logische Syntax, die ein Axiom bildet, und eine Folgerungsregel, die Ihnen sagt, was Sie mit diesem Axiom tun können, um einen Satz abzuleiten. Genial. Als nächstes kommt aber die Frage, auf was für eine mathematische Struktur dieses Schlußsystem hinausläuft. Haben wir eine Boolesche oder Heyting-Algebra? Haben wir einen Topos? Haben wir ein transitives Mengenmodell?

Hier ist ein Modell, das Ihr vorgeschlagenes logisches System vollständig kapseln könnte - die geordnete Folge natürlicher Zahlen. Wir haben einen Basis-Null-Wert ($$$) und eine Folgeoperation (Hinzufügen eines $). Da wir diese Struktur bereits haben (die Zahlen 0,1,2,3, ... und so weiter), scheint es überhaupt kein Problem zu sein, zu sagen, dass Ihr vorgeschlagenes Inferenzschema auch gut begründet ist. Nun, das muss nicht unbedingt Ihre Absicht seinModell, aber syntaktisch gibt es nichts Offensichtliches in Ihrer Formulierung, um zu sagen, dass etwas daran als Interpretation falsch ist. Vielleicht kann es Ihnen helfen, interessante Eigenschaften und Theoreme herauszufinden, die Sie sonst vielleicht nicht berücksichtigt hätten, wenn Sie Ihr Axiom- / Regel-Framework als ein Subsystem der Peano-Arithmetik betrachten. Wenn Sie andererseits spezifischere Angaben zu einer Struktur machen möchten, an der Sie interessiert sind, können Sie erwägen, weitere Axiome oder Regeln hinzuzufügen, um sich auf das bestimmte Verhalten oder die Ressourcen Ihres Modells einzustellen.

Ziehen wir es jetzt etwas zurück - wenn Ihr Inferenzsystem in Ordnung ist, weil es im Vergleich zu unseren aktuellen Zählsystemen irgendwie "nicht neu" ist, was macht dann diese bereits vorhandenen Zählsysteme oder allgemeinere mathematische Theorien in Ordnung? Die Axiome, die wir verwenden, um uns über Zahlentheorien zu informieren, sagen uns etwas Wertvolles darüber, was es heißt, zu zählen, zu multiplizieren, zu faktorisieren usw., und dies gibt uns einen praktischen Weg, uns auf Antworten auf offene Fragen der angewandten praktischen Anwendung in Physik, Technik zu einigen , und sogar in abstrakteren Ideen der strategischen Planung und Modellierung. Aber warum sollten wir uns darauf einigen?

Nun, ich denke, es gibt zwei divergierende Stränge darüber, was unsere axiomatischen Systeme der Mathematik so grundlegend macht. Das erste ist zu sagen, dass wir beim Aufbau axiomatischer Theorien und der Individualisierung von Strukturen, die die von uns untersuchten Axiome veranschaulichen, eine Vielzahl abstrakter Technologien beschreiben und erfinden, die in jedem beliebigen Kontext nützlich sein können (oder auch nicht). wenden Sie sie an. Die Mathematik bringt eine Reihe von Werkzeugen mit sich, die sehr breit und erfolgreich funktionieren könnten, und dass viele Dinge in der Natur und in unserem Leben mit den Technologien, die wir erfinden und anwenden, begründet werden können. Dies ist (eine sehr grobe Version von) David Hilberts Perspektive, weil der Mathematiker bei seiner Argumentation nicht speziell auf die Wahrheit in der Welt abzielt,

Die zweite besteht darin, sich besonders auf bestimmte zentrale Theorien zu konzentrieren, die sich als gut erwiesen haben, und unser Verständnis dieser Theorien im Hinblick auf die Erklärung eines zugrunde liegenden Kerns mathematischer Fakten zu entwickeln. Wir scheinen nicht viele verschiedene Zahlentheorien in der Praxis zu haben - wir haben eine Vorstellung davon, was es bedeutet, eine Zahl zu sein 2, und eine einfache Tatsache2+2=4. Vielleicht sagt uns das etwas über die allgemeine Struktur der menschlichen Erkenntnis, oder vielleicht sagt es uns nur etwas darüber, wie die Welt selbst tatsächlich aus Dingen zusammengesetzt ist, die einer bestimmten strukturellen Regelmäßigkeit genügen, an die wir uns klammern können; Wie auch immer, es gibt irgendeine Art von Phänomen, von dem die Mathematik versucht, eine wissenschaftliche Theorie zu sein, und die Aufdeckung der Natur dieser Struktur ist das, was Mathematiker zu erreichen versuchen, wenn sie Theoreme in bestimmten akzeptierten Bereichen von mathematischem Interesse beweisen. Dies entspricht eher der Ansicht von Gottlob Frege, dass die mathematische Wahrheit wirklich da draußen ist und Mathematiker ihre empiristische Pflicht tun, sie zu untersuchen und zu testen.

In jedem Fall geht es darum, dass wir nicht "nur" niedliche syntaktische Beziehungen zeichnen. Es gibt eine Art mathematische Strukturierung, die für die kognitive Kraft relevant ist, die uns die Mathematik in anderen Studien- und Praxisbereichen verleiht, und die erklärt, warum einige Inferenzregeln und Axiome akzeptiert und mit denen gearbeitet wird. Beim Verständnis von Logik geht es darum, ein Gefühl für diese Strukturen zu bekommen, wo sie sinnvoll eingesetzt werden können und ihre Konsequenzen und Grenzen. Gibt es hier einen Begriff der „absoluten Wahrheit“? Ich verstehe nicht, warum weder Frege noch Hilbert dies leugnen müssen - für Frege ergibt sich die mathematische Wahrheit aus der Rolle der mathematischen Abstraktion in der wissenschaftlichen Praxis, und für Hilbert geht es bei der mathematischen Wahrheit um ihre eigenen Systeme und Formalismen.

In der Wissenschaft ist ein Theorem eine Wahrheit, bis drei unabhängige Beobachtungen nicht passen. Bis wir die drei beobachtbaren abweichenden Beobachtungen machen können, die es zum Mythos erklären, steht es als wahr.

Wie wird ein Mythos im Land der Mathematik entlarvt? Was ist Ihr Äquivalent zu einer diskreten Beobachtung im Land der Wissenschaft? Die Welt der Mathematik ist mir fremd, die Kultur ist nicht meine. Ich wage keinen Kommentar, damit ich nicht als unbedeutend weggescheucht werde.