Motivationen für den mathematischen Platonismus

Soweit ich weiß, scheint es für Realisten, die einen guten altmodischen mathematischen Platonismus in ihrer Ontologie besonders mögen, zwei Wege zu geben, an ihn heranzukommen. Das erste scheint das Bedürfnis nach Wahrheitsmachern für mathematische Sätze/Wahrheiten zu sein, daher die Setzung mathematischer Objekte als abstrakte Objekte, die als Wahrheitsmacher dienen. Der andere Weg besteht darin, das Quine-Putnam-Unverzichtbarkeitsargument oder eine zeitgenössische Variation aufzustellen und ihre Existenz abzuleiten (bin ich richtig, wenn ich denke, dass dies ein deduktives Argument ist, oder ist es ein abduktives Argument? Vielleicht gibt es Versionen von beiden), indem sie notieren dass der Existenzquantor ein Mittel zur ontologischen Bindung ist.

Erstens, täusche ich mich, wenn ich annehme, dass dies einige der Motivationen für die Annahme/Positionierung des mathematischen Platonismus darstellt? Zweitens, gibt es andere Beweggründe, den mathematischen Platonismus anzunehmen/anzunehmen?

Siehe Mathematischer Platonismus : "Mathematischer Platonismus ist das Ergebnis der Hinzufügung der beiden weiteren Behauptungen Abstraktheit und Unabhängigkeit zur Existenz ."
Erstens ist Quines Motivation ein besonderer Fall von Wahrheitsfindung, Quines Unverzichtbarkeitsdiktum ist, dass wir uns der Existenz aller und nur Wesen verpflichten müssen, die unsere besten Theorien wahr machen (nach Paraphrase). Da dies ein Rückschluss auf die beste Erklärung ist, ist es abduktiv. Zweitens sind solche Motivationen für die meisten zu philosophisch und "zerebral", Mathematiker zitieren oft die direkte "Intuition" mathematischer Entitäten, Gödel und andere vergleichen sie mit der Wahrnehmung physikalischer Objekte. Einige mathematische Realisten, wie Burgess, finden sogar Unverzichtbarkeitsargumente geschmacklos und nicht überzeugend.

Antworten (1)

Ich kann nicht für Platoniker sprechen, die in der von Ihnen erwähnten Weise argumentieren. Ich persönlich finde das Unersetzlichkeitsargument nicht mehr wert als den ontologischen „Beweis“ Gottes, nämlich dass Gott nicht das überlegene Wesen sein könnte, ohne zu existieren (worauf Kant antwortet „ebenso gut könnte ein Kaufmann ein paar Nullen auf sein Konto setzen, um sich zu verbessern seine wirtschaftliche Situation").

Aber an die Mengenlehre glaubende Mathematiker haben einen unabdingbaren Grund, Platonisten zu sein, zumindest wenn sie konsequent sind: Nach der Mengenlehre gibt es unzählige Mengen, dh Mengen mit mehr Elementen, als je von Bewohnern einzeln beschrieben, definiert, erwähnt, vorgestellt werden können des Universums. Diese Elemente existieren also, falls vorhanden, nicht in der menschlichen Mathematik (Monolog, Dialog, Diskurs), sondern höchstens in Gottes Wissen. Das hat Cantor übrigens von Grund auf geglaubt.

Selbst genügend große endliche Mengen haben die Eigenschaft, dass ihre einzelnen Elemente niemals von den kollektiven Bewohnern des Universums beschrieben, erwähnt usw. werden können. Sie charakterisieren Unzählbarkeit falsch.
@user48942: In der idealen, klassischen Mathematik vernachlässigen wir die Beschränkungen der Realität, da es sonst nicht einmal eine potenzielle Unendlichkeit gibt und die Mathematik schwer zu handhaben wäre. Aber die Zählbarkeit aller Definitionen, Namen usw. ist ein beweisbares Merkmal innerhalb der idealen Mathematik. Ihr Argument verwechselt zwei sehr unterschiedliche Merkmale.
"Unzählige Mengen, dh Mengen mit mehr Elementen, als je von Bewohnern des Universums individuell beschrieben, definiert, erwähnt, vorgestellt werden können" -- Absolut falsche Def. Sie sind derjenige, der verwirrt ist, es sei denn, Sie meinten etwas anderes als das, was Sie geschrieben haben.
Versuchen Sie, wie ein Mathematiker zu denken: Die Menge der Definitionen ist abzählbar. Deshalb habe ich Recht und du hast Unrecht. Wenn Sie nicht selbst denken können, mir aber nicht glauben, versuchen Sie, die Literatur zu lesen. Zum Beispiel: Alle möglichen Kombinationen von endlich vielen Buchstaben gehören zu einer abzählbaren Menge. Da jede reelle Zahl durch endlich viele Wörter definierbar sein muss, kann es – im Widerspruch zum Satz von Cantor und seinem Beweis – nur abzählbar viele reelle Zahlen geben. [Hermann Weyl, Hilberts Nachfolger in Göttingen]
Wenn wir dem Gedanken nachgehen, dass jede reelle Zahl durch ein arithmetisches Gesetz definiert ist, ist die Idee der Gesamtheit der reellen Zahlen nicht mehr unabdingbar. [Paul Bernays, Mitautor von Hilbert] Unzählige Beziehungssymbole - ein solches Notationssystem kann es nicht geben. [Wilhelm F. Ackermann, Mitautor von Hilbert] Wenn wir die reellen Zahlen in einem streng formalen System definieren, sind sie abzählbar. [Kurt Schütte, Hilberts letzter Schüler]
@Was haben "Bewohner des Universums" damit zu tun? Ich glaube, Sie haben das eine gemeint, aber etwas anderes geschrieben, und jetzt sehen Sie nicht einmal, was Sie selbst geschrieben haben. Es gibt genügend große endliche Zahlen, die von keinem Bewohner des Universums individuell erdacht werden können.
@ user4894 Bitte lesen Sie genauer, was ich über ideale Mathematik geschrieben habe. Um es noch verständlicher zu machen: In einem unendlichen und ewigen Universum ist jede natürliche Zahl definierbar. Die meisten von überabzählbar vielen Zahlen können jedoch nicht definiert werden. Daher gehören sie nicht zur Mathematik.
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