Sowohl die Bestätigung des AC als auch seine Verneinung sind in der Mengenlehre konsistent, aber kann man irgendwie sagen, dass es so sein muss, dass einer von ihnen tatsächlich wahr ist? Ich verstehe, was es bedeutet, dass AC und seine Ablehnung konsequent sind; aber gibt es einen Sinn, in dem Wahrheit mehr ist als nur das Vermeiden von Widersprüchen? Vielleicht ist es so, dass die Leugnung von AC die "Wahrheit der Sache" ist, aber wir werden auf keine Widersprüche stoßen, wenn wir annehmen, dass AC wahr ist, und mit dem Lemma von Zorn (das äquivalent ist) rechnen usw.
Diese Frage taucht auf, wenn ich „Metaphysics: An Anthology“ lese, herausgegeben von Kim, Korman und Sosa. Darin gibt es einen Artikel von Plantinga „Modalities: Basic Concepts and Distinctions“, in dem es heißt: „Das Auswahlaxiom und die Kontinuumshypothese sind entweder notwendigerweise wahr oder notwendigerweise falsch …“.
Es hängt davon ab, was Sie unter "Mengentheorie" verstehen. ZF ist nicht die einzige Möglichkeit, die Mengenlehre zu formalisieren (obwohl sie natürlich die am weitesten verbreitete ist). Vgl. dieser Auszug aus dem Wikipedia-Eintrag zum AoC im Kontext konstruktiver Mathematik:
In der konstruktiven Mengenlehre zeigt der Satz von Diaconescu jedoch, dass das Auswahlaxiom das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte impliziert (anders als in der Martin-Löf-Typentheorie, wo dies nicht der Fall ist). Daher ist das Auswahlaxiom in der konstruktiven Mengenlehre nicht allgemein verfügbar. Eine Ursache für diesen Unterschied ist, dass das Wahlaxiom in der Typentheorie nicht die Extensionalitätseigenschaften hat, die das Wahlaxiom in der konstruktiven Mengenlehre hat.
Einige Ergebnisse der konstruktiven Mengenlehre verwenden das Axiom der zählbaren Wahl oder das Axiom der abhängigen Wahl, die das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte in der konstruktiven Mengenlehre nicht implizieren. Obwohl insbesondere das Axiom der zählbaren Wahl in der konstruktiven Mathematik häufig verwendet wird, wurde seine Verwendung auch in Frage gestellt.
Sie könnten auch daran interessiert sein, den Abschnitt „ Varianten “ der nLab-Seite zum AoC und dieses Zitat von der nLab-Seite zu „topos“ zu lesen :
Die interne Logik von Topos ist eine intuitionistische Logik höherer Ordnung. Das bedeutet, dass, während das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten und das Wahlaxiom versagen können, im Übrigen jede davon unabhängige logische Aussage jedem Topos innewohnt.
Zusätzlich zu @celtschks Kommentar, dass die Antwort "davon abhängt, was Ihrer Meinung nach die Mengentheorie beschreibt", hängt sie auch von der spezifischen Mengentheorie ab, in der man arbeitet.
Es hängt davon ab, was Ihrer Meinung nach die Mengentheorie beschreibt. Wenn Sie der Meinung sind, dass die Mengentheorie eine Art unabhängig existierender Struktur beschreibt (Mengen, die unabhängig von der Mengentheorie existieren), dann gilt für diese unabhängig existierende Struktur natürlich entweder das Wahlaxiom oder nicht.
Eine andere Ansicht ist jedoch, dass Mengen durch die Mengenlehre im gleichen Sinne definiert werden wie Gruppenelemente durch die Gruppentheorie definiert werden. In der Gruppentheorie ist die Aussage „es existiert ein Gruppenelement, dessen Identität keine positive Potenz ist“ (nennen wir es die „Hypothese der unendlichen Ordnung“) unabhängig von den Gruppenaxiomen. Doch niemand würde es als Problem betrachten; es bedeutet nur, dass es Modelle der Gruppentheorie (d. h. Gruppen) gibt, bei denen die „Hypothese unendlicher Ordnung“ wahr ist (wie die additive Gruppe ganzer Zahlen), und es andere gibt, bei denen die „Hypothese unendlicher Ordnung“ falsch ist (z additive Gruppe der ganzen Zahlen modulo 3).
Beachten Sie jedoch, dass selbst wenn Sie davon ausgehen, dass es einige "wahre Mengen" unabhängig von der ZF-Mengentheorie gibt, die die Mengentheorie beschreiben soll, die Unabhängigkeit von AC von den Axiomen der ZF-Mengentheorie nicht gegen das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte verstößt. Es bedeutet nur, dass sie nicht ausreichen, um alle Aspekte dieser "wahren Mengen" zu beschreiben; insbesondere erlauben sie nicht zu entscheiden, ob alle Mengen eine Wahlfunktion zulassen.
Beachten Sie, dass auch das Axiom der Unendlichkeit unabhängig von den anderen Axiomen der Mengenlehre ist; es ist konsequent anzunehmen, dass es nur erbliche endliche Mengen gibt (d. h. endliche Mengen, deren Elemente ebenso endlich sind wie die Elemente ihrer Elemente usw.). Wenn Sie sich die Mengenlehre als Beschreibung einiger "wahrer Mengen" vorstellen, dann können Sie auch fragen, ob das Axiom der Unendlichkeit für dann gilt (dh ob es tatsächlichunendliche Mengen existieren). Wenn Sie jedoch die Mengenlehre nur als Beschreibung einer Klasse von Modellen betrachten, dann beschreibt die Mengenlehre mit Unendlichkeit nur eine bestimmte Unterklasse von Modellen (nämlich diejenigen, die tatsächlich unendliche Mengen haben), und dann beschreibt das Hinzufügen des Axioms der Wahl erneut eine spezifische Unterklasse dieser Modelle (nämlich die Klasse von Modellen, bei denen alle Mengen eine Auswahlfunktion haben), ähnlich wie die Theorie der abelschen Gruppen eine Unterklasse der Modelle (Gruppen) beschreibt, die die Gruppentheorie beschreibt (nämlich die Unterklasse von Gruppen, deren Gruppenoperation ist kommutativ).
Schlucht
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