Wie kann der Schwarzschild-Radius des Universums 13,7 Milliarden Lichtjahre betragen?

Zunächst sollten wir beachten, dass das Universum als Ganzes nicht durch die Schwarzschild-Metrik beschrieben wird, daher ist der Schwarzschild-Radius des Universums ein bedeutungsloses Konzept. Wenn Sie jedoch die Masse des beobachtbaren Universums nehmen, könnten Sie fragen, wie groß der Schwarzschild-Radius eines Schwarzen Lochs dieser Masse ist.

Für eine Masse$M$der Schwarzschild-Radius ist:

$$r_s = \frac{2GM}{c^2} \tag{1}$$

Wenn der Radius des beobachtbaren Universums ist$R$, und die Dichte ist$\rho$, dann ist die Masse:

$$M = \tfrac{4}{3}\pi R^3 \rho$$

und wir können in Gleichung (1) einsetzen, um zu erhalten:

$$r_s = \frac{8G}{3c^2} \pi R^3 \rho \tag{2}$$

Jetzt glauben wir, dass die Dichte des Universums die kritische Dichte ist, und aus der FLRW-Metrik können wir mit etwas Haarzerren einen Wert für die kritische Dichte erhalten:

$$\rho_c = \frac{3H^2}{8\pi G}$$

Und wir können ersetzen$\rho$in Gleichung (2), um zu erhalten:

$$r_s = \frac{H^2}{c^2} R^3 \tag{3}$$

Nun sagt das Gesetz von Hubble, dass die Geschwindigkeit eines entfernten Objekts mit seiner Entfernung zusammenhängt$r$von:

$$v \approx Hr$$

und seit dem Rand des Universums,$r_e$, ist, wo die Rezessionsgeschwindigkeit ist$c$wir bekommen:

$$r_e \approx \frac{c}{H}$$

und dessen Einsetzen in Gleichung (3) ergibt;

$$r_s = \frac{1}{r_e^2} R^3 \tag{4}$$

Wenn$r_e = R$dann wären wir übrig$r_s = R$und wir hätten gezeigt, dass der Schwarzschild-Radius der Masse des beobachtbaren Universums gleich seinem Radius ist. Funktioniert leider nicht ganz. Die Dimension$R$ist die aktuelle Größe des beobachtbaren Universums, die etwa 46,6 Milliarden Lichtjahre beträgt, während die im Hubble-Gesetz verwendete Größe$r_e$, ist die aktuelle scheinbare Größe 13,7 Milliarden Lichtjahre.

Wenn ich Gleichung (3) nehme und einsetze$R$= 46,6 Milliarden Lichtjahre und$H$= 68 km/sec/megaParsec bekomme ich$r_s$etwa 500 Milliarden Lichtjahre oder viel größer als die Größe des beobachtbaren Universums.