Wie kann die Position eines Teilchens in der Quantenmechanik zufällig und unsicher sein, wenn sie in der Relativitätstheorie bereits vorherbestimmt ist?

Hier gibt es zwei Probleme, eines auf der quantenmechanischen Seite und eines auf der relativistischen Seite.

Interpretation der Quantenmechanik

Erstens scheinen Sie sich vorzustellen, dass Quantenteilchen "wirklich" klassisch sind, mit wohldefinierten Bahnen, die wir aufgrund der Unschärferelation einfach nicht messen können. Das heißt, Sie behandeln die Quantenmechanik einfach als klassische Mechanik, die durch eine verschmierte Linse betrachtet wird. Das ist keine gute Art, darüber nachzudenken: Die Natur ist viel seltsamer als das. (Ich versuche hier eine bessere Erklärung zu geben .)

Um Verwirrung zu vermeiden, sollten Sie auf Formulierungen wie „die tatsächliche Position des Partikels“ oder „den Weg, den das Partikel genommen hat“ verzichten. Stellen Sie sich vor, Sie versuchen einer blinden Person zu erklären, wie die Farbe eines Bildschirms von Weiß zu Schwarz verblasst, und sie fragen: „Okay, aber war es in der Mitte tatsächlich Schwarz oder Weiß?“ Es ist einfach keine gültige Frage; Es gibt keine Antwort.

In der modernen Formulierung der relativistischen Quantenfeldtheorie definieren wir Quantenfelder in der gesamten Raumzeit$\phi(t, \mathbf{x})$. Das Quantenfeld kann also von Anfang an für alle Zeiten definiert werden, aber das bedeutet nicht , dass es eine bestimmte Anzahl von Teilchen darstellt, die bestimmte Flugbahnen machen, genauso wenig wie ein Bildschirm, der zu jeder Zeit eine Farbe hat, bedeutet, dass er immer entweder schwarz oder weiß ist .

Interpretation der Relativitätstheorie

Das zweite Problem betrifft die Interpretation der Relativitätstheorie. Ich denke, Sie spielen auf Putnams Blockuniversum-Argument an . Das Argument ist im Wesentlichen, dass, da Dinge, die in der Zukunft in meinem Rahmen geschehen werden, aufgrund der Relativität der Gleichzeitigkeit bereits in dem Rahmen eines anderen geschehen sind , die Zukunft „bereits“ „existieren“ muss, also vorbestimmt sein muss. Allerdings darf man den mathematischen Formalismus einer Theorie, also die einfachste Art, sie aufzustellen, nicht mit ihrer Ontologie, also ihrer Aussage über die Realität, verwechseln.

Einige fassen dies zusammen, indem sie sagen: „Die Karte ist nicht das Territorium“. Wenn Sie eine Straßenkarte mit einem Gitter aus Breiten- und Längengradlinien haben, bedeutet das nicht, dass der reale Boden mit riesigen Linien bedeckt ist. Die Linien wurden nur gezeichnet, um die Karte nützlicher zu machen. Nicht alles auf der Karte entspricht der Realität.

In ähnlicher Weise drängt uns die Relativitätstheorie dazu, Berechnungen aufzustellen, damit alles bereits für alle Zeiten definiert ist, aber das ist nicht notwendig. Zum Beispiel werden im ADM/3+1-Formalismus der Allgemeinen Relativitätstheorie Dinge nur zu einem einzigen Zeitpunkt spezifiziert und dann in der Zeit vorwärts propagiert. Auf dieser Karte existiert also nicht die Zukunft, sondern nur die Gegenwart. Das ist für numerische Simulationen essenziell, denn wie soll ein Computer die Zukunft berechnen, wenn er sie schon kennen müsste?

Der Punkt ist, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, die Relativitätstheorie einzurichten, und alle haben unterschiedliche Merkmale. Da sie alle die gleichen konkreten Vorhersagen machen, kann die Wissenschaft keine auswählen. (Deshalb ärgere ich mich über große Aussagen darüber, wie die Relativitätstheorie uns sagt, was die Raumzeit wirklich ist , wenn sie wirklich nur ein Merkmal der einen Karte ist, die der Sprecher verwendet hat.)

Wenn Sie auf einer bestimmten Interpretation der Relativitätstheorie (Blockuniversum) und einer bestimmten Interpretation der Quantenmechanik (Kopenhagen) bestehen, dann besteht in der Tat ein Widerspruch, denn die Kopenhagener Interpretation setzt eine unbestimmte Zukunft voraus. Aber das bedeutet nicht, dass sich die zugrunde liegenden Theorien widersprechen, es bedeutet nur, dass diese beiden besonderen Arten, darüber zu sprechen, nicht ineinandergreifen; du musst das eine oder andere tauschen. Ich entschuldige mich dafür, dass ich hier keine starken Aussagen mache, aber dieser Agnostizismus ist die einzige wissenschaftlich haltbare Position.

Die Antwort darauf ist, dass die Relativitätstheorie eigentlich eine Theorie der Raum-Zeit-Geometrie ist, keine Theorie der Materie in Bewegung. Sie können jede Art von sich bewegender Materie darüber einfügen, aber das Wesen der speziellen Relativitätstheorie besteht einfach darin, dass sich die Raumzeit unter den Lorentz-Transformationen (oder allgemein der Poincare-Gruppe) mit der Minkowski-Distanz dem entsprechenden Begriff der Entfernung zwischen transformiert Veranstaltungen. Es ist im Wesentlichen eine Theorie des "Hintergrunds", auf dem Ihre Bewegungstheorie existiert, nicht die Bewegungstheorie selbst. Die "Bewegungstheorie", die in der "speziellen Relativitätstheorie" zu finden ist, die bestimmte Positionen usw. hat, ist wirklich eine geeignet modifizierte Newtonsche Mechanik und nicht streng SR. Sie können aber auch eine entsprechend modifizierte Quantenmechanik obendrauf setzen. Sie könnten sogar völlig fiktive Arten von Physik wie in einem imaginären Universum hinzufügen - die Möglichkeiten sind endlos. Der Punkt ist, dass keiner von ihnen "SR" ist, sondern eher hinzugefügte Bewegungstheorien, und dass SR das Gemeinsame ist, das all diese Universen teilen.

Die Kopplung zwischen dem Hintergrund und der dynamischen Theorie ergibt sich aus der Annahme des Relativitätsprinzips, das heißt, dass die dynamischen Gesetze, was auch immer sie sind, auch nach einer Transformation des Systems durch willkürliche Symmetrietransformationen der Poincare-Gruppe weiter funktionieren sollten.

Wenn also die Position eines Teilchens gemessen wird, können wir sagen, dass sich das Teilchen wirklich in einem Raumbereich befindet. Mit fortschreitender Zeit ohne Messungen wächst der Bereich, in dem es sich befinden könnte, entsprechend der Ungewissheit seines Impulses. Ein erstes Verständnis der relativistischen QM stellt lediglich sicher, dass diese Region durch den Lichtkegel der Startregion begrenzt wird. Die Relativitätstheorie befasst sich viel mehr mit der Idee, dass sich keine Information nachweislich schneller als mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, als mit der Idee, dass nichts ungewiss ist.

Abgesehen davon gibt es in der üblichen Beschreibung der Quantenmechanik eine augenblickliche Informationsausbreitung, die Physiker lange Zeit beschäftigte und die als Verschränkung bezeichnet wird. Das konsequente Streben nach diesem Merkmal hat die meisten Physiker davon überzeugt, dass die Realität nicht mit dem „lokalen“ Vokabular beschrieben werden kann, das die spezielle Relativitätstheorie verwenden möchte. Wir sind uns jetzt jedoch bewusst, dass dies nützliche Informationen niemals schneller als mit Lichtgeschwindigkeit verbreiten wird: Die Informationen sind in einer Korrelation zwischen zwei weit voneinander entfernt lebenden Systemen verborgen und können nicht beobachtet werden, bis beide Messungen zum Vergleich wieder zusammengeführt werden.

Hintergrund

In der klassischen Physik ( relativistisch oder nicht ) die Position von Teilchen$\mathbf{x}(t)$und Schwung$\mathbf{p}(t)$sind deterministisch. Was ich meine, ist das gegeben$\mathbf{x}(t_{0})$und$\mathbf{p}(t_{0})$,$\mathbf{x}(t)$und$\mathbf{p}(t)$Pro$t > t_{0}$kann bestimmt werden, wenn Sie die Dynamik des Systems kennen (dh Hamiltonian$H$).

In der Quantenmechanik (QM) können Observable wie Position und Impuls nicht gleichzeitig genau bekannt sein (nicht wegen numerischer Fehler oder experimenteller Fehler, es ist die Eigenschaft der Natur selbst). Mathematisch liegt es am Positionsoperator$\hat{\mathbf{x}}$und Impulsoperator$\hat{\mathbf{p}}$pendeln nicht (d.h$[\hat{\mathbf{x}}, \, \hat{\mathbf{p}}] = \hat{\mathbf{x}} \hat{\mathbf{p}} - \hat{\mathbf{p}} \hat{\mathbf{x}} \neq 0$, die mit der Unschärferelation zusammenhängt).

Aber was in QM deterministisch ist, ist die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichte . Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Teilchen an einer Position zu finden$\mathbf{x}$und zur zeit$t$:$|\Psi(\mathbf{x}, t)|^{2}$unterliegt folgender Dynamik ( Schrödinger-Gleichung )

Ihre Frage

Bei der Kompatibilitätsfrage zwischen QM und spezieller Relativitätstheorie (SR) geht es nicht um die Unvorhersagbarkeit des genauen Positions- und Impulswerts, sondern darum, ob die Dynamik des QM-Systems (z. B. Schrödinger-Gleichung) invariant ist (beibehaltung derselben mathematischen Form) oder nicht darunter Lorentztransformation .

Für die Schrödinger-Gleichung, die ich oben schreibe, ist sie nicht Lorentz-invariant. Tatsächlich ist die Schrödinger-Gleichung eine Galilei-Invariante (Newtonsches Regime, kein relativistisches Regime). Es wurden viele Anstrengungen unternommen, um QM-Systeme zu entwickeln, die mit der speziellen Relativitätstheorie kompatibel sind (dh invariant unter Lorentz-Transformation). Beispiele umfassen Klein-Gordon-Gleichung, Dirac-Gleichung. Letztendlich wird eine in sich konsistente Theorie (wenn ich mich nicht irre :)), die Quantenfeldtheorie (QFT), die mit SR kompatibel ist, entwickelt.

Der Standpunkt der speziellen Relativitätstheorie ist, dass bei jeder Lorentz-Transformation (Umschalten von einem Konstantgeschwindigkeitsrahmen zu einem anderen) Dinge niemals schneller als Licht sein sollten. Der Standpunkt der Quantenmechanik ist meines Erachtens, dass maßgebende Gleichungen gesucht werden sollten, die zu einer Quantisierung von Dingen wie atomaren Energieniveaus auf diskrete Werte führen, wie es in der Spektroskopie beobachtet wurde. Diese können in Einklang gebracht werden, indem eine maßgebliche Gleichung gefunden wird, die alle oben genannten Punkte gewährleistet: Beide lassen Informationen unter Lorentz-Transformationen niemals schneller als Licht reisen und führen zu einer Quantisierung der Teilchenenergieniveaus, wie sie in der Natur beobachtet werden. Die Klein-Gordon-Gleichung war der erste Versuch, dies zum Laufen zu bringen, aber es funktionierte nicht. Schließlich wurde festgestellt, dass die Dirac-Gleichung die gewünschten Eigenschaften erfüllt. Freeman Dysons BuchAdvanced Quantum Mechanics gibt auf den ersten zehn Seiten Hintergrundinformationen zur Entwicklung der speziellen relativistischen Quantenmechanik.

Ich entschuldige mich, wenn dies nicht die strengste oder professionell interpretierte Erklärung ist.

QM und SR sind eigentlich kompatibel, QM und GR nicht.

Die Unsicherheitsbeziehung in QM manifestiert sich in QFT als die Unsicherheit in der Anzahl der Teilchen. dh die Teilchenerhaltung geht verloren, das ist der Ursprung virtueller Teilchen, die wir in Feynman-Diagrammen sehen.

Im Gegensatz zu QM, SR oder sogar GR ist QFT nicht streng definiert. Konstruktive QFT ist ein Versuch, genau dies zu tun – sie können jedoch nicht die Existenz auch nur einer interagierenden QFT zeigen. Sie können tatsächlich die Existenz eines freien QFT rigoros nachweisen.

Das ist ungefähr so, als würde man sagen, dass wir die Zahl Null rigoros konstruieren können, aber Eins, Zwei, Drei und so weiter werden durch Winken mit der Hand konstruiert!

Die Relativitätstheorie ist nur bei Geschwindigkeiten signifikant, die signifikante Bruchteile der Lichtgeschwindigkeit sind. Die zeitlichen und räumlichen Unsicherheiten der Quantenmechanik sind umgekehrt zu Energie und Impuls. Daher sind Relativitätstheorie und Quantenmechanik für dasselbe Problem nicht beide wichtig.