Wie kann die Schwerkraft das Licht beeinflussen?

Das Newtonsche Gesetz sagt die Beugung von Licht voraus. Es prognostiziert jedoch einen Wert, der um den Faktor zwei kleiner ist als tatsächlich beobachtet.

Die Newtonsche Gravitationsgleichung erzeugt eine Kraft:

also die Beschleunigung der kleineren Masse,$m$, ist:

Wenn das Teilchen dann masselos ist$m/m = 0/0$und dies ist jedoch undefiniert, wenn wir die Grenze von nehmen$m \rightarrow 0$Es ist klar, dass die Beschleunigung für ein masseloses Objekt nur die übliche ist$a = GM/r^2$. Das impliziert, dass ein Photon durch die Newtonsche Schwerkraft abgelenkt wird, und Sie können dieses Ergebnis verwenden, um die Ablenkung aufgrund eines massiven Objekts mit dem Ergebnis zu berechnen:

Die Berechnung ist in diesem Papier ausführlich beschrieben . Die relativistische Rechnung ergibt:

Der Sinn von Eddingtons Expedition von 1919 bestand nicht darin, zu zeigen, dass Licht gebogen wurde, obwohl keine Biegung erwartet wurde, sondern eher zu zeigen, dass die Biegung doppelt so stark war wie erwartet.

Man kann im Prinzip eine Schwarzschild-Raumzeit betrachten:

$ds^2 = -\left(1- \frac{2M}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{1- \frac{2M}{r}} + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2\right)$

Der Lagrangian der Geodäten ist dann gegeben durch:

$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[- \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\dot{t}^2 + \frac{\dot{r}^2}{1-\frac{2M}{r}} + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \dot{\phi}^2\right]$

Nach Anwendung der Euler-Lagrange-Gleichungen und Ausnutzung der Tatsache, dass die S-Metrik kugelsymmetrisch und statisch ist, erhält man die Orbitalgleichung für Licht als (Nach der Definition$u = 1/r$) als:

$\frac{d^2 u}{d\phi^2} + u = 3 M u^2$.

Es ist ziemlich schwierig, diese ODE zu lösen. Tatsächlich glaube ich nicht, dass es eine geschlossene Lösung gibt. Man kann einen Störungsansatz anwenden. Definieren eines Auswirkungsparameters$b$, kann man eine Ansatzlösung für diese ODE erhalten als:

$u = \frac{1}{b} \left[\cos \phi + \frac{M}{b} \left(1 + \sin^2 \phi\right)\right]$.

Man kann die folgende Beziehung ableiten:

$u\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\delta \phi}{2}\right) = 0$,

wo$\delta \phi$ist der Ablenkwinkel.

Jetzt endlich erweitert Taylor$u$oben herum$\pi/2$, man kann das tatsächlich zeigen:

$\delta \phi = \frac{4M}{b}$,

was das gewünschte Ergebnis ist.

In dieser Antwort leiten wir die Formel für den Ablenkwinkel her

$$\theta ~=~\frac{2GM}{b}\left(\frac{1}{v_0^2} + \frac{1}{c^2}\right) +{\cal O}(M^2) \tag{1}$$

eines (massereichen oder masselosen) Teilchens in einer Schwarzschild-Raumzeit . Hier$b$ist der Schlagparameter und$v_0$ist die asymptotische Geschwindigkeit (was für ein masseloses Teilchen ist$c$). Die Newtonsche Grenze ist$c\to \infty$.

Skizzierter Beweis:

1. Durch sphärische Symmetrie können wir die Bahnebene = Äquatorialebene nehmen:$\theta=\frac{\pi}{2}$. Wir gehen von den geodätischen Gleichungen aus

   $$\hspace{-5em}\begin{align} E~=~&n^{-1}\frac{dt}{d\lambda} , \cr n^{-1} ~:=~&1 - \frac{r_s}{r}, \cr r_s~:=~&\frac{2GM}{c^2}, \end{align}\tag{5.61/7.43/6.3.12}$$ $$\hspace{-5em} L~=~r^2\frac{d\phi}{d\lambda}, \tag{5.62/7.44/6.3.13}$$ $$\hspace{-5em}\begin{align} \epsilon c^2~=~&n^{-1}c^2 \left(\frac{dt}{d\lambda}\right)^2 \cr ~-~&n\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2 -r^2\left(\frac{d\phi}{d\lambda}\right)^2, \end{align}\tag{5.55/7.39/6.3.10}$$ vgl. Ref. 1-3. Hier $$[\lambda]=\text{Time}, \qquad [E] ~=~\text{dimensionless}, \qquad [L] ~=~\frac{\text{Length}^2}{\text{Time}}. \tag{2}$$

   • Massives Teilchen:$\epsilon=1$und$\lambda=\tau$richtige Zeit.

   • Masseloses Teilchen:$\epsilon=0$und$\lambda$keine richtige Zeit.

   Dies führt zu

   $$\hspace{-5em} \begin{align} \underbrace{ (cE)^2 }_{\text{"energy"}} ~=~& \underbrace{ \left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2 }_{\text{"kinetic energy"}}\cr ~+~& \underbrace{n^{-1}\left(\frac{L^2}{r^2}+\epsilon c^2 \right) }_{\text{"effective potential energy"}}. \end{align}\tag{5.64/7.46/6.3.14}$$ Der Leser mag darüber nachdenken, ob die$\epsilon$Parameter führt zu einem Sprung im Winkel$\theta$der Durchbiegung (1) zwischen massivem und masselosem Fall? Wir werden weiter unten sehen, dass dies nicht der Fall ist.

2. F: Wie identifizieren wir die Bewegungskonstanten?$E$und$L$mit den Beobachtbaren$b$und$v_0$im räumlichen Unendlichen$r=\infty$? A: Beachten Sie das

   $$\begin{align}r v_{\phi}~:=~ r^2\frac{d\phi}{dt}\quad\longrightarrow&\quad bv_0~=~h~=~\frac{L}{E}\cr &\quad\text{for}\quad r~\to~\infty, \end{align}\tag{3}$$ und $$\begin{align}\frac{dr}{dt} \quad\longrightarrow&\quad v_0~=~c\frac{\sqrt{E^2-\epsilon}}{E}\cr &\quad\text{for}\quad r~\to~\infty.\end{align}\tag{4}$$ Gl. (4) bedeutet, dass die Energiekonstante ist$E=\gamma_0=\left(1-\frac{v_0^2}{c^2}\right)^{-1/2}$im massiven Fall und ist im masselosen Fall unbestimmt.

3. Wenn wir die reziproke radiale Koordinate definieren

   $$u~:=~\frac{1}{r},\tag{5}$$ wir erhalten ein Polynom 3. Ordnung$^1$ $$\begin{align} \left(\frac{du}{d\phi}\right)^2~=~&P(u)\cr ~:=~&\left(\frac{cE}{L}\right)^2 - n^{-1}\left(u^2+\frac{\epsilon c^2}{L^2}\right) \cr ~=~&r_s(u-u_+)(u-u_-)(u-u_0),\end{align}\tag{6}$$ mit 3 Wurzeln $$\begin{align}u_{\pm}~=~&\pm\frac{c}{L}\sqrt{E^2-\epsilon} ~+~\frac{r_s}{2}\left(\frac{cE}{L}\right)^2~+~{\cal O}(r_s^2)\cr ~=~&\pm \frac{1}{b}~+~\frac{GM}{h^2}~+~{\cal O}(M^2) ,\end{align} \tag{7}$$ und
   $$u_0~=~\frac{1}{r_s} +{\cal O}(r_s) .\tag{8}$$

4. Beim Streuvorgang die reziproke Radialkoordinate$u$geht von 0 bis zur Wurzel$u_+$und dann wieder zurück auf 0. Der halbe Winkel ist dann

   $$\begin{align}\phi&~~~\stackrel{(6)}{=}~\int_0^{u_+} \! \frac{du}{\sqrt{P(u)}} \cr &~~~=~\int_0^{u_+} \! \frac{du}{\sqrt{(u_+-u)(u-u_-)\left(1-r_su\right)}} \cr &\stackrel{u=u_+x}{=}~\int_0^1 \! \frac{dx}{\sqrt{(1-x)(x+\alpha)}}\left(1+\beta x\right) +{\cal O}(r_s^2) \cr &~~~=~\beta\sqrt{\alpha}+(\alpha\beta+\beta+2)\arctan\frac{1}{\sqrt{\alpha}}+{\cal O}(r_s^2) \cr &~~~=~\frac{r_s }{2b}+2\arctan\left(1+\frac{r_s }{2b}\frac{c^2}{v_0^2}\right)+{\cal O}(r_s^2)\cr &~~~=~\frac{r_s }{2b}+2\left(\frac{\pi}{4}+\frac{r_s }{4b}\frac{c^2}{v_0^2}\right)+{\cal O}(r_s^2), \end{align}\tag{9}$$ wo wir definiert haben $$\begin{align} \alpha~:=~&-\frac{u_-}{u_+}\cr ~=~&1-\frac{r_s}{L}\frac{E^2}{\sqrt{E^2-\epsilon}} +{\cal O}(r_s^2) \cr ~=~&1-\frac{r_s }{b}\frac{c^2}{v_0^2} +{\cal O}(r_s^2)\end{align} \tag{10}$$ und $$\begin{align} \beta~:=~&\frac{r_s}{2}u_+ ~=~\frac{r_s}{2}\frac{\sqrt{E^2-\epsilon}}{L}+{\cal O}(r_s^2)\cr ~=~&\frac{r_s}{2b} +{\cal O}(r_s^2). \end{align}\tag{11}$$ Die Konstante$\beta$verschwindet in der Newtonschen Grenze$c\to \infty$.

5. Schließlich können wir den Ablenkungswinkel berechnen

   $$\begin{align}\theta ~=~&2\left(\phi-\frac{\pi}{2}\right)\cr ~\stackrel{(9)}{=}~&\frac{r_s}{b}\left(1 + \frac{c^2}{v_0^2}\right) +{\cal O}(r_s^2),\end{align}\tag{12}$$ was die gesuchte Formel (1) ist.$\Box$

Verweise:

1. Sean Carroll, Raumzeit und Geometrie: Eine Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie , 2003; Abschnitt 5.4.

2. Sean Carroll, Lecture Notes on General Relativity , Kapitel 7. Die pdf-Datei ist hier verfügbar .

3. R.Wald, GR, 1984; Abschnitt 6.3.

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$^1$In der Newtonschen Grenze$c\to \infty\leftrightarrow r_s \to 0$das Polynom 3. Ordnung (6) wird durch ein Polynom 2. Ordnung ersetzt

1) Die Krümmung von Lichtstrahlen ist ein allgemeiner relativistischer Effekt, kein Effekt des Newtonschen Gravitationsgesetzes.

2) Es ist wahrscheinlich besser, über diese Dinge aus einer Feldperspektive nachzudenken – eine Masse-Energie-Verteilung bewegt sich entlang und erzeugt ein Gravitationsfeld. Wenn Dinge dann in dieses Feld eintreten, interagieren sie damit, und dies ändert ihre Bewegung. Diese Dinge haben vielleicht ihr EIGENES Gravitationsfeld, das die ersten Dinge oder was auch immer bewegen kann, aber sie interagieren nur mit dem Feld, nicht mit der Materieverteilung, die das Feld erzeugt hat.

Ich denke, was dem OP gefehlt hat, ist das Prinzip der Äquivalenz zwischen Masse und Energie sowie die Tatsache, dass sich Lichtstrahlen sogar im Vakuum biegen, und selbst wenn diese Biegung eine so subtile Krümmung aufweist, dass sie weit außerhalb unserer Wahrnehmung bleibt ohne Vergrößerungsgerät.

Wie von Viktor Toth unter https://www.researchgate.net/post/Why_do_you_think_that_gravitational_lensing_is_due_to_time_dilation_Can_it_be_due_to_length_contraction hervorgehoben hervorgehoben , scheinen sowohl die gravitative Zeitdilatation als auch die gravitative Längenkontraktion gleichermaßen an dieser Ablenkung von Lichtstrahlen durch gravitative Objekte beteiligt gewesen zu sein, wie im Jahr 1919 bestätigt wurde von John Rennie erwähnte Sonnenfinsternis: Eine solche Ablenkung wurde als Effekt von Newtons Gravitationstheorie angenommen und von Einstein genau verdoppelt, was zur ersten experimentellen Bestätigung von GR führte.

Das Interessanteste daran ist für mich, dass der räumliche Aspekt der beteiligten Krümmung mehr als ein Jahrhundert nach seinem zeitlichen Aspekt entdeckt worden zu sein scheint: Die Form von Objekten, die so vertraut sind wie der Mond, deutet auf eine räumliche Krümmung hin, aber eine Zeitverständnis interessierte offenbar mehr.

Wenn angenommen wird, dass die Masse des Lichts genau Null ist, würde die Newtonsche Gravitation eine Nullkraft erzeugen. Die Umlaufbahn des Lichts wird jedoch durch Beschleunigung bestimmt, nicht durch Kraft. Bei Nullmasse ist die Beschleunigung undefiniert . An der Grenze, dass die Photonenmasse gegen Null geht, geht die Kraft gegen Null, aber die Beschleunigung ist natürlich unabhängig von der Photonenmasse. Man kann daher einfach die Newton-Beschleunigung auf ein Objekt anwenden, das sich mit der Geschwindigkeit c bewegt. Daraus ergibt sich der Wert von Einsteins Arbeit von 1911, der halb so groß ist wie die GRT-Vorhersage und der experimentelle Wert. Siehe https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_lens #History.

Es ist nur ein einfaches Konzept gemäß Einsteins Relativitätstheorie, wenn Licht durch ein hohes Gravitationsfeld oder ein Objekt mit hoher Masse wandert (dh wenn ein Objekt eine hohe Masse hat, bedeutet dies, dass es andere Objekte mit geringerer Masse anziehen kann), werden die im Licht vorhandenen Photonen angezogen Anderes Objekt und wir sehen, wie sich Licht im Universum krümmt, aber eines ist zu beachten, dass Photonen masselose Materie sind, aber in diesem Fall zieht das Objekt mit der höheren Masse das Objekt mit der geringeren Masse an, obwohl es 0 ist.