Wie kann ich Linear- und Winkelbewegungen mit einer einzigen Formel in Beziehung setzen? [geschlossen]

Verwenden Sie die räumliche Trägheit, um den Linear-/Winkelimpuls mit Änderungen der Linear-/Winkelgeschwindigkeit in Beziehung zu setzen

$$\begin{pmatrix} \vec{L}\\ \vec{H}_A \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} m {\bf 1}_{3×3} & -m [\vec{c}\times] \\ m [\vec{c}\times] & I_{cm}-m [\vec{c}\times][\vec{c}\times] \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \Delta\vec{v}_A\\ \Delta \vec{\omega} \end{pmatrix}$$

_{ref: Newton-Euler-Gleichungen Wikipedia.}

Wo$\vec{L}$ist der lineare Nettoimpuls (Impuls),$\vec{H}_A$ist der nahe Drehimpuls an einem Punkt A .$\Delta \vec{v}_A$ist die Änderung der linearen Geschwindigkeit am selben Punkt und$\Delta{\omega}$die Drehzahländerung.

Die Skalarmasse ist$m$Und$I_{cm}$ist das Massenträgheitsmoment im Schwerpunkt. Endlich$[\vec{c}\times$] ist die symmetrische 3 × 3-Matrix, die den Vektorkreuzproduktoperator darstellt. Siehe https://physics.stackexchange.com/a/111081/392 . Der Vektor$\vec{c}$ist hier die Lage des Massenmittelpunkts relativ zu A .

Der kombinierte Impuls sowie die daraus resultierende Bewegung ist eine räumliche Schraube , deren Verhältnis von linearen zu winkligen Eigenschaften als Steigung bezeichnet wird. Siehe https://physics.stackexchange.com/a/80552/392 für weitere Details. Sehen Sie sich auch die folgende Tabelle an, um zu sehen, wie Sie die Schraubeneigenschaften (Position, Richtung und Steigung) von verschiedenen Schraubentypen extrahieren können.

$$\begin{array}{cccc} \mbox{Property} & \mbox{Velocity (Twist)} & \mbox{Momentum (Wrench)} & \mbox{Force (Wrench)}\\ \hline \mbox{Screw} & \hat{v}_{A}=\begin{pmatrix}\vec{v}_{A}\\ \vec{\omega} \end{pmatrix} & \hat{\ell}_{A}=\begin{pmatrix}\vec{L}\\ \vec{H}_{A} \end{pmatrix} & \hat{f}_{A}=\begin{pmatrix}\vec{F}\\ \vec{\tau}_{A} \end{pmatrix}\\ \mbox{Direction} & \vec{e}=\frac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|} & \vec{e}=\frac{\vec{L}}{|\vec{L}|} & \vec{e}=\frac{\vec{F}}{|\vec{F}|}\\ \mbox{Magnitude} & \omega=|\vec{\omega}| & L=|\vec{L}| & F=|\vec{F}|\\ \mbox{Position} & \vec{r}=\vec{r}_{A}+\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_{A}}{|\vec{\omega}|^{2}} & \vec{r}=\vec{r}_{A}+\frac{\vec{L}\times\vec{H}_{A}}{|\vec{L}|^{2}} & \vec{r}=\vec{r}_{A}+\frac{\vec{F}\times\vec{\tau}_{A}}{|\vec{F}|^{2}}\\ \mbox{Pitch} & h=\frac{\vec{\omega}\cdot\vec{v}_{A}}{|\vec{\omega}|^{2}} & h=\frac{\vec{L}\cdot\vec{H}_{A}}{|\vec{L}|^{2}} & h=\frac{\vec{F}\cdot\vec{\tau}_{A}}{|\vec{F}|^{2}} \end{array}$$

PS. Wenn Sie genauere Angaben machen, kann ich Ihnen ein Beispiel dafür geben, wie ich mit dem oben Genannten das bekommen kann, was Sie wollen.

Bearbeiten 1

Die inverse räumliche Trägheitsmatrix ist

$$\begin{pmatrix}\Delta\vec{v}_{A}\\ \Delta\vec{\omega} \end{pmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{m}-\vec{c}\times I_{cm}^{-1}\vec{c}\times & \vec{c}\times I_{cm}^{-1}\\ -I_{cm}^{-1}\vec{c}\times & I_{cm}^{-1} \end{bmatrix}\begin{pmatrix}\vec{L}\\ \vec{H}_{A} \end{pmatrix}$$

Dies wird in der Spielprogrammierung verwendet, um Impulse zu verarbeiten (siehe Gleichung 18-8 in http://www.cs.cmu.edu/~baraff/sigcourse/notesd2.pdf )

Bearbeiten 2

Die kinetische Energie eines starren Körpers mit einer 6×6 räumlichen Trägheitsmatrix$\hat{I}_A$ist definiert durch

$$K=\frac{1}{2} \hat{v}_A^\top \hat{I}_A \hat{v}_A =\frac{1}{2} \hat{\ell}_A^\top \hat{I}_A^{-1} \hat{\ell}$$

Wo$\hat{v}_A = (\vec{v}_A,\vec{\omega})$Und$\hat{\ell}_A = (\vec{L},\vec{H}_A)$.

Der einfachste Weg, mit Ihrem Fall umzugehen, besteht darin, die Trägheit im Massenmittelpunkt zu berücksichtigen und den Drehimpuls als festzulegen$\vec{H}_C = -\vec{c}\times \vec{L}$Erzeugung der räumlichen Impulsschraube$\hat{\ell}_C = (\vec{L}, -\vec{c} \times \vec{L})$mit dem Impuls$\vec{L} = \int \vec{F}\,{\rm d}t$. Die inverse räumliche Trägheit am Massenmittelpunkt ist eine blockdiagonale 6×6-Matrix$\hat{I}_C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{m} & \\ & I_C^{-1} \end{bmatrix}$die kinetische Energie erzeugen

$$K = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}\vec{L}\\ -\vec{c}\times\vec{L} \end{pmatrix}^{\top}\begin{bmatrix}\frac{1}{m}\\ & I_{C}^{-1} \end{bmatrix}\begin{pmatrix}\vec{L}\\ -\vec{c}\times\vec{L} \end{pmatrix}$$

Das Obige kann mithilfe von Vektoridentitäten in erweitert werden

$$\boxed{ K=\frac{1}{2}\vec{L}^{\top}\left(\frac{1}{m}{\bf 1}_{3×3}-[\vec{c}\times] I_{C}^{-1}[\vec{c}\times]\right)\vec{L} }$$

Der Teil innerhalb der Klammern ist die inverse effektive Masse des starren Körpers um Punkt A . Der erste Teil entsteht durch den linearen Impuls und der zweite Teil durch den Drehimpuls (Kraftoffset). Eine Stange von Länge$s=10 \rm m$Massenträgheitsmoment hat$I_{cm} = {\rm diag}(\frac{1}{12}m s^2, \frac{1}{12}m s^2, 0)$und Anwendungsstelle befindet sich in$a=2.5 \rm m$rechts vom Massenmittelpunkt (mit$\vec{c}=(-a,0,0)$).

Wenn die aufgebrachte Kraft entlang der Vertikalen ist, dann$\vec{L} =(0,\int F{\rm d}t,0)$und die kinetische Energie ist

$$K = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{m} + \frac{12 a^2}{m s^2} \right) L^2$$ Wo $L=\int F{\rm d}t$ist die Impulsgröße.

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Natürlich kommt man durch Auswertung der inversen räumlichen Trägheit direkt auf obiges

$$\hat{I}_{A}^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{m} & 0 & \ldots & 0\\ 0 & \frac{1}{m}+\frac{12a^{2}}{ms^{2}} & & \frac{12a}{ms^{2}}\\ \vdots & & \ddots\\ 0 & \frac{12a}{ms^{2}} & & \frac{12}{ms^{2}} \end{bmatrix}$$ und beim Betrachten des [2,2]-Elements (entlang der translational y- Achse).

Einen Impuls gegeben$\vec{L} = (0,J,0)$die resultierende Bewegung am Kraftpunkt A ist

$$\begin{pmatrix} \Delta v_x \\ \Delta v_y \\ \Delta \omega \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{m} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{m}+\frac{12 a^2}{m s^2} & \frac{12 a}{m s^2} \\ 0 & \frac{12 a}{m s^2} & \frac{12}{m s^2} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ J \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ \left(\frac{1}{m}+\frac{12 a^2}{m s^2}\right) J\\ \frac{12 a}{m s^2} J \end{pmatrix}$$

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Das Rotationszentrum des starren Körpers (was Ihnen eine Vorstellung davon gibt, wie viel es dreht und wie viel es verschiebt) wird gefunden durch (Position der Schraubenachse)

$$\vec{r}_{rot} = \vec{r}_A + \dfrac{\Delta \vec{\omega} \times \Delta \vec{v}}{|\Delta \vec{\omega}|^2} =\begin{pmatrix}a\\0\\0\end{pmatrix} + \frac{(0,0,\frac{12 a}{m s^2}J) \times (0, (\frac{1}{m}+\frac{12 a^2}{m s^2})J,0)}{(\frac{12 a}{m s^2}J)^2} =\begin{pmatrix} -\frac{s^2}{12 a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Wie Sie sehen können, ist die Größe der Kraft (oder des Impulses) unwichtig, da die Geometrie des Problems durch die Wirkungslinie der Kraft und die Trägheitseigenschaften des starren Körpers definiert wird. In diesem Fall liegt der Drehpunkt bei$r=\frac{10}{3}\,{\rm m}$links vom Massenmittelpunkt. Das Verhältnis der linearen Geschwindigkeit von Punkt A zur linearen Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts ist

$$\frac{v_A}{v_{cm}} = \dfrac{(a+r)\Delta \omega}{r \Delta \omega} = \dfrac{a+\frac{s^2}{12 a}}{\frac{s^2}{12 a}} = \frac{7}{4}$$

Ich kläre noch einmal ab. Angenommen, ich habe eine 10-m -Stange (das Trägheitsmoment ist bekannt) und ich wende eine Kraft von 5 N darauf an, 2,5 m von der Rotationsachse entfernt, für eine Sekunde. Sowohl die Linear- als auch die Winkelgeschwindigkeit könnte man herausfinden, indem man 5N in F⃗ = ma⃗ und τ⃗ = Iα⃗ einsetzt, richtig? Es scheint mir aber irgendwie kontraintuitiv zu sein. Würde die Kraft nicht in einem bestimmten Verhältnis sowohl auf die lineare als auch auf die Winkelbewegung verteilt?

Die Frage wurde mehrmals radikal geändert (infolgedessen musste Steeven seine Antwort löschen, und eine andere Antwort ist veraltet und unverständlich geworden). Diese beklagenswerte Tatsache macht es fast unmöglich, eine angemessene Antwort zu geben. Eine weitere eklatante Anomalie ist, dass OP diese Antwort zum zweiten oder dritten Mal akzeptiert und (noch) nicht abgelehnt hat, obwohl sie stark herabgestuft wird, und schließlich darf ich meine eigene Antwort seitdem nicht löschen ist die akzeptierte.

Ich werde versuchen, das Problem von einem allgemeinen Standpunkt aus anzugehen, um alle möglichen zukünftigen Änderungen abzudecken: Ich werde eine Rute von in Betracht ziehen$l=1m$(10 cm wären noch besser) da es unrealistisch ist, dass man eine Stange von 10m und schieben kann$I = 1/12$. Die Zahlen sind sowieso nicht relevant, da OP nicht nach einer Lösung für ein bestimmtes Problem sucht, sondern nach einer allgemeinen Regel / einem Prinzip / einer Formel fragt und die Verhältnisse immer gleich sind.

• 1) Wenn die Stange an einem Drehpunkt befestigt wäre, wäre die effektive Punktmasse der Stange an der Spitze (50 cm) 1/3 und bei 0,25 cm vom CM wäre sie es$m° =4/3 Kg$

• 2) Wenn die Stange frei ist und verschoben werden kann, beträgt die Punktmasse an der Spitze 1/4 und 0,25 cm$m°= 4/7 Kg$. **

• 3) Wenn der Stab frei ist und wir den Impuls kennen, ist es ziemlich einfach, das Verhältnis zwischen Linear- und Winkelgeschwindigkeit zu bestimmen .

• 4) Wenn die Stange frei ist und Sie (wie vom OP gefordert) eine Kraft von K (= 5) N bei 0,25 cm anwenden, ist die effektive Masse der Stange an diesem Punkt natürlich immer noch bekannt, aber sie wird komplex (oder unmöglich). ) bestimmen. Außerdem müssen Sie auch unterscheiden, ob:
• a) die Kraft wirkt in eine Richtung (und das ist hier standardmäßig der Fall)
• b) wenn die Kraft mit dem Körper rotiert

In beiden Fällen gibt es viele Komplikationen, weil:

a) Wenn die Kraft in eine Richtung wirkt, nimmt die Normalkomponente allmählich auf Null ab (und es besteht auch die Möglichkeit, dass sie 1 Sekunde lang nicht ausgeübt werden kann).

b) Wenn sich die Kraft mit dem Körper dreht, wird das CM nicht nur nach vorne geschoben, sondern in viele Richtungen verschoben.

Die andere Antwort wird positiv bewertet , obwohl sie keines dieser Probleme anspricht , die Frage nicht anspricht und nicht die von der Frage geforderte allgemeine Einzelformel hervorgebracht hat. Dies ist wahrscheinlich eine weitere Anomalie : Wahrscheinlich sollte man nur dann posten und positiv bewertet werden, wenn man bereits eine Antwort gefunden hat.

** Ich habe Ihnen die Formel für die lineare Geschwindigkeit ( Punktmasse ) gegeben$v$:$\frac{I}{I+md^2}$und das Verhältnis Linear-/Rotationsgeschwindigkeit$v/v°$:$\frac{I}{md^2}$also das Verhältnis Linear-/Winkelgeschwindigkeit$v/\omega$Ist:$v/\omega = \frac{I}{md}$. Dies gilt, wie gesagt, nur für Impuls- / Richtungskraft. Sie sollten angeben, was Sie mit Ihrer Frage gemeint haben.

Die Frage ist ziemlich allgemein, aber lassen Sie mich versuchen, einige Antworten zu geben.

Wie bestimme ich resultierende Translations- und Rotationsgeschwindigkeiten?

Verwenden Sie für die Translationsgeschwindigkeit das zweite Newtonsche Gesetz:

$$\vec F= m \vec a$$

Verwenden Sie für die Rotationsgeschwindigkeit (Winkelgeschwindigkeit):

$$\vec \tau=I\vec \alpha$$

Trägheitsmoment finden $I$Sie müssen die Objektgeometrie kennen. Für Drehmoment $\vec \tau$verwenden Sie die Definition$\tau=Fr$, Wo$r$ist der Abstand zum Rotationszentrum (und$F$muss die senkrechte Komponente sein).

Wenn Sie dies getan haben, verwenden Sie die Beschleunigung $\vec a$und Winkelbeschleunigung $\vec \alpha$, um die Geschwindigkeit zu finden $\vec v$und Winkelgeschwindigkeit $\vec \omega$.

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Ich suche auch nach Gleichungen, die die kinetische Translationsenergie mit der kinetischen Rotationsenergie im Zusammenhang mit dem Aufbringen eines Drehmoments verbinden.

Nun, das sind zwei verschiedene Energieportionen (und ich weiß nicht, was Sie damit meinen in the context of applying torque). Das Objekt als Ganzes enthält die Gesamtenergie (die Summe):

$$K_{trans}+K_{rot}=½mv^2+½I\omega^2$$

Um ein solches Objekt zu stoppen, müssten Sie sowohl die Translations- als auch die Rotationskinetik absorbieren. Sie können diese beiden Teile getrennt betrachten.

Wenn Sie equations connectingdiese beiden Energien wollen, muss es daran liegen, dass Sie eine in die andere umwandeln oder andere Prozesse durchführen, an denen sie beide beteiligt sind. Dies hängt davon ab, was Sie tun.