Wie kann in dieser physikalischen Gleichung ein so hoher Exponent entstehen?

Diese Seite http://what-if.xkcd.com/14/ besagt, dass während eines Heliumblitzes "die Reaktionsgeschwindigkeit proportional zur 40. Potenz der Temperatur ist".

Wenn man davon ausgeht, dass dies wahr ist, wie kann ein so großer Exponent in einer physikalischen Gleichung auftreten? Es macht für mich einfach keinen Sinn, dass irgendein physikalischer Prozess dieses Phänomen hervorrufen könnte.

Eine Erklärung, wie es zu einem Heliumblitz kommen kann, wäre zufriedenstellend, aber die Frage ist wirklich allgemeiner. Wie kann ein physikalischer Prozess genügend Faktoren ansammeln, um auf x^40 ​​zu kommen? Thermodynamische Prozesse befinden sich in der Regel in x^2 oder x^3, und die Geometrie kann nur ein paar weitere x^3 hinzufügen.

Beachten Sie, dass wir nicht über die Größenordnung der Dinge sprechen (offensichtlich ist die 40. Potenz keine große Sache in der Längen- oder Zeitskala), wir sprechen über eine Physik /Gleichung/.

Das ist eine gute Frage. Es können hohe Kräfte auftreten, aber ich denke immer noch, dass die Erklärung hier anders ist. Die Abhängigkeit ist in keiner Weise eine exakte 40. Potenz. Tatsächlich ist es exponentiell – die Fusion hängt vom Quantentunneln ab, das die exponentiell abnehmenden „Schwänze“ der Verteilung untersucht, und bei höheren Temperaturen kann man viel weiter in den Schwanz gelangen, wodurch die Rate exponentiell beschleunigt wird – und die (ungefähr) Die 40. Potenz ist wohl nur die beste Interpolation der intrinsischen Exponentialfunktion für ein bestimmtes Intervall von Parametern.
Es scheint bemerkenswert schwierig zu sein, Informationen über die Kinetik des Heliumblitzes zu googeln. Die Originalarbeit ist Schwarzschild, M. & Harm, R., 1962 Astrophys. J., 136, 158, aber das ist online nicht verfügbar. Vermutlich befinden sich die Informationen in modernen Lehrbüchern: Wenn jemand eine Referenz hat, wäre ich daran interessiert, sie zu lesen.
Ich würde annehmen, dass es ungefähr der Wert der Leistungsableitung ist D l N ( F ( R ) ) D l N ( R ) , was den Exponenten des lokalen ungefähren Potenzgesetzes angibt. Es ist wahrscheinlich ein Exponentialgesetz, wie @LubošMotl sagte. Ich erinnere mich, dass ich einmal eine Berechnung über die stellare Energieerzeugung durchgeführt habe, die eine Leistungsableitung von etwa 22 ergab, also warum nicht 40?
@BenjiRemez: Ich verstehe wirklich nicht, wie die Aussage "es ist ein exponentielles Gesetz" erklärt, wie solche Gesetze physikalisch entstehen können. Können Sie den von Ihnen erwähnten Fall 22 näher erläutern? Das könnte eine gültige Antwort sein.
Was ich meinte, ist, dass die fragliche Größe eine Exponentialfunktion der Form sein kann j ( X ) = e X . Sowohl Quantentunnel- als auch Boltzmann-Faktoren sind exponentiell und beide kommen bei der Sternfusion ins Spiel. Versuchen Sie, den Gamow Peak hinaufzuschauen. Wenn Sie nun ein Potenzgesetz %f(r) = r^n% haben, beachten Sie, dass seine logarithmische Ableitung %\frac{d(log(f(r))}{d(log(r))}$ gleich ist zu %n%, also stellt dies den Exponenten des Gesetzes dar. Im Prinzip kann es auf jede allgemeine Funktion angewendet werden, und sein Wert würde den geeigneten Exponenten ergeben, falls Sie diese Funktion als Potenzgesetz lokal approximieren möchten.
Wenn Sie ein exponentielles Verhalten haben, das als exp (ax - bx ^ 2) gilt, wobei a positiv und b positiv ist, können Sie das Ding im Exponenten als Logarithmus annähern, indem Sie mit einer Konstante skalieren, und dann kann die Potenz sein was immer du magst.
@BenjiRemez: Sie sollten dies zu einer Antwort erweitern!
Ich habe jetzt keine Zeit, eine detaillierte Antwort zu geben, aber ich verweise Sie auf ein kostenloses Lehrbuch, Collins's Fundamentals of Stellar Astrophysics . Abschnitt 3.3 diskutiert Kernreaktionsraten. Tabelle 3.4 enthält ungefähre Potenzgesetze für verschiedene Reaktionsgeschwindigkeiten. Beachten Sie, dass unterschiedliche Potenzgesetze unterschiedliche Temperaturbereiche annähern und 40 bei der Kerntemperatur zu Beginn des Blitzes relevant ist, wenn die Reaktionsgeschwindigkeit am steilsten ansteigt.
Wikipedia zitiert für diesen Aspekt des Triple-Alpha-Prozesses , der Kernfusion von Helium zu Kohlenstoff , An Introduction to Modern Astrophysics, ISBN 0-8053-0402-9 , Seite 312-313: „Die durch die Reaktion freigesetzte Leistung ist ungefähr proportional zu der Temperatur hoch 40..."

Antworten (1)

Erweiterung der obigen Kommentare:

Die fragliche Größe gehorcht wahrscheinlich keinem Potenzgesetz im herkömmlichen Sinne. Es handelt sich höchstwahrscheinlich um ein Exponentialgesetz j ( X ) = e X , da es sich um thermodynamische Boltzmann-Faktoren und Quantentunnelwahrscheinlichkeiten handelt und beide exponentiell sind.

Allerdings kann es immer noch als Potenzgesetz lokal approximiert werden. Betrachten Sie eine Funktion F ( R ) = R N . Wenn Sie seine logarithmische Ableitung nehmen D ( ln ⁡   F ( R ) ) D ( ln ⁡   R ) , erhalten Sie den Exponenten zurück N . Sie können diese Ableitung auch auf jede allgemeine Funktion anwenden. Der erhaltene Wert (in Abhängigkeit von R ) ist dann der geeignete Exponent, wenn Sie eine Potenzgesetz-Lokalnäherung verwenden möchten.

Sehen Sie sich dieses Dokument an ; es zeigt sowohl die exponentiellen Berechnungen als auch die Verwendung dieser Ableitung.

Wie kann in dieser physikalischen Gleichung ein so hoher Exponent entstehen?
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