Wie kann kinetische Energie proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit sein, wenn die Geschwindigkeit relativ ist?

Ohne den Rest Ihrer Frage gelesen zu haben, muss ich zunächst antworten, dass das eine mit dem anderen nichts zu tun hat .

Die kinetische Energie ist rahmenabhängig, ebenso wie die Geschwindigkeit .

Das Momentum ist proportional zur Geschwindigkeit und auch Frame-abhängig, genau wie die Geschwindigkeit .

Betrachten Sie nun den Hauptteil Ihrer Frage:

Stellen Sie sich vor, Sie und Ihr Kumpel würden gemeinsam mit einer unbekannten Geschwindigkeit durch den Weltraum treiben.

Unbekannte Geschwindigkeit relativ zu was ? Unbekannte Geschwindigkeit relativ zur Erde? Unbekannte Geschwindigkeit relativ zum Sonnensystem? Unbekannte Geschwindigkeit relativ zum CMB?

Angenommen, 100 kg schwere Raumschiffe, werden 5 kJ Energie immer 10 m/s Relativgeschwindigkeit erzeugen?

Relativ zu was ? Relativ zum anfänglichen Trägheitsbezugssystem vor der Beschleunigung? Oder relativ zu einem Bezugsrahmen in einer willkürlichen Relativbewegung?

(Der Sinn all dieser Fragen besteht darin, Sie dazu anzuregen, klarer über Ihre Frage nachzudenken, in der Hoffnung, dass Sie selbst zur Antwort kommen ...)

Das Weltraumfahrrad-Paradoxon

(auch bekannt als „ The Shadoks go to space “ oder „ How to walk in space “)

Ich finde, das ist eine süße Frage. Obwohl der Stil in Bezug auf Frames und Geschwindigkeit etwas umständlich ist, wird er als interessantes Paradoxon dargestellt. Auf den Punkt gebracht ist die Frage die folgende (vereinfachende Details):
Wenn ich ein Raumschiff fahre, sagt mir die Trägheitsrahmeninvarianz, dass ich für jede neue Energieeinheit, die zum Beschleunigen der Bewegung verwendet wird, die gleiche Geschwindigkeitserhöhung erhalte. Aber wenn ich auf der Erde Fahrrad fahre, bekomme ich weniger Geschwindigkeitszunahme für jede neue Energieeinheit, die für die Beschleunigung aufgewendet wird. Warum ist es anders?

Natürlich sind Details wichtig, und irgendwo muss ein Trugschluss vorliegen , den wir durch die Analyse der Details der Beispiele identifizieren. Das Plakat ist sich offensichtlich bewusst, dass es sich um einen Trugschluss handelt, hat jedoch Schwierigkeiten, ihn in den Kontexten, in denen er angegeben wird, zu entknoten.

Obwohl es möglicherweise so ausgelegt werden kann, stimme ich nicht der Ansicht zu, dass diese Frage eine reine Rahmenfrage ist. Das Paradoxon ist viel mehr ein Problem der Impulserhaltung, das wahrscheinlich aus einem pädagogischen Problem stammt, da der Impuls bei kollisionsfreien Übungen, die auf der Erdoberfläche stattfinden, oft ignoriert wird.

Typischerweise neigen wir bei Problemen, die auf der Erde stattfinden, dazu, die Erde zu vergessen. Aber es ist da. Glücklicherweise !

Hohe Geschwindigkeit ist hart für ein Fahrrad (warum?)

Die Frage betrachtet zwei Fahrräder A und B, die jeweils ein erstes Mal mit einer bestimmten Energiemenge beschleunigen und dann A erneut mit derselben Energie beschleunigen. Aber A verdoppelt seine Geschwindigkeit nicht, er multipliziert sie nur mit$\sqrt{2}$. Daher beträgt seine Geschwindigkeitszunahme in Bezug auf B nur etwa 0,414 seiner ersten Geschwindigkeitszunahme aus der Unbeweglichkeit am Boden.

Analysieren wir den Fall der Fahrräder. Das ist alles linear, also vergesse ich Vektoren. Und wir führen einfach eine hauptsächlich qualitative Analyse durch, um zu verstehen, was passiert. Der Rest ist nur die Anwendung von Formeln. Ich nehme an, um die Dinge missbräuchlich zu vereinfachen, dass die lokale Erdoberfläche ein Inertialsystem für die kurze Dauer des Experiments ist (es ist eine oft verwendete Annäherung). Also nehmen wir für eine erste Analyse den lokalen Boden als Inertialsystem .

Nehmen Sie die erste Beschleunigung aus$v_0=0$m/s zu$v_1=10$m/s verwendete eine Kraft$F$auf Distanz angewendet$d$für eine Zeit$t_1$. Jedes Fahrrad gewann an Schwung$Ft_1$und eine kinetische Energie$K=Fd$in Bezug auf ihren ursprünglichen Rahmen: Erde.

Jetzt beschleunigt Fahrrad A wieder mit der gleichen Energiemenge. Es kann dies tun, indem es die gleiche Kraft aufbringt$F$über die gleiche Distanz$d$auf Erdoberfläche. Da hat es schon Geschwindigkeit, die Distanz$d$werden in kürzerer Zeit abgedeckt$t_2$. Diese Beschleunigung gibt ihm also weniger Schwung$Ft_2$, als die erste, was erklärt, dass der Geschwindigkeitsgewinn geringer sein wird.

Aber wenn wir die gleiche Analyse in Bezug auf das Buddy-Fahrrad B durchführen , liegen die Dinge anders. Während A das zweite Mal beschleunigt, bewegt sich Kumpel B und legt tatsächlich eine Strecke zurück$v_1 t_2$. Die von A in Bezug auf B während der zweiten Beschleunigung zurückgelegte Strecke ist also nur$d-v_1 t_2$. Daher ist die zum Beschleunigen aufgewendete Energie aus Sicht von (Rahmen) B$K_B=F(d-v_1 t_2)$das ist deutlich weniger als$K=Fd$.

Aber Sie "wissen", dass Sie Energie verbraucht haben$K$, und ein Teil davon ist aus der Sicht von B verschwunden. Wo ist die Energie geblieben? Nun, aus der Sicht von B bewegt er sich nicht wirklich: Wir sind alle in Bezug auf uns selbst bewegungslos. Als A ausrollte, war er gegenüber B ebenfalls bewegungslos, bis er wieder beschleunigte. Es war die Erde, die sich mit hoher Geschwindigkeit unter den beiden Fahrrädern bewegte$v_1$, In die andere Richtung.

Als A beschleunigte, übte er eine Druckkraft auf den Boden aus, um vorwärts zu fahren, die durch eine Reibungskraft (Reaktionskraft) vom Boden ausgeglichen wurde. Es ist die Reaktionskraft, die die Arbeit verrichtet, die A über eine Distanz beschleunigt. Im Rahmen der Erde. Die Erde bewegt sich nicht, so dass keine an die Erde gebundene Kraft irgendeine Arbeit verrichtet. Aber im Bild Buddy B bewegt sich die Erde tatsächlich rückwärts. Die Reibungskraft der Beschleunigung von A erhöht den Impuls von A, und dieser Anstieg muss irgendwo gestohlen werden (der Gesamtimpuls ändert sich nicht). Also muss es von der Erde kommen, dh von einer Änderung der Geschwindigkeit der Erdoberfläche (keine Sorge, es wird keine Erdbeben verursachen, wie die Antworten auf mehrere Fragen auf dieser Seite zeigen). Der fehlende Teil der Energie wurde verwendet, um die Erdbewegung in Bezug auf B zu beschleunigen.

Hohe Geschwindigkeit ist im Weltraum einfach (oder?)

Dasselbe Problem in den Weltraum zu bringen, soweit es sinnvoll ist (Sie werden sehen, warum), kann einige Probleme klären. Aber es ist wirklich ganz anders.

Die einzige Möglichkeit, zu beschleunigen, besteht darin, Impuls mit einer anderen Masse auszutauschen. Abgesehen von der direkten Nutzung der natürlichen Kraftfelder (wie der Schwerkraft) besteht die übliche Methode darin, eine Reaktionsmasse mit hoher Geschwindigkeit aus einem Raketentriebwerk zu erschöpfen. Sie werfen die Masse in eine Richtung und werden mit der umgekehrten Impulsvariation in die andere Richtung geschoben. Da du die Masse trägst, besteht der Trick oft darin , den erschöpften Schwung durch hohe Geschwindigkeit mit kleinen Massen zu erhöhen , damit du nicht zu schnell masselos wirst (es sei denn, du bist ein Topmodel).

Möglicherweise haben Sie eine Bildschirmanzeige, die Ihnen anzeigt, wie viel Energie Sie verbraucht haben. Aber das ist von begrenztem Nutzen, weil es Ihnen nicht sagt, wofür Sie es ausgegeben haben, da Sie sowohl Ihr Fahrzeug als auch die erschöpfte Reaktionsmasse beschleunigen. Die Energieverteilung wird durch die Impulserhaltung gesteuert, so dass wir im anfänglichen Inertialsystem (bekanntlich) haben:

• Impulserhaltung:$m_c v_c+m_r v_r=0$

• kinetische Energie :$1/2(m_c v_c^2+m_r v_r^2)= W$

wo Indizes$c$und$r$sind jeweils das Fahrzeug und die erschöpfte Reaktionsmasse, und W ist die verbrauchte Energie. Beachten Sie, dass zunächst die Handwerksmasse ist$m_c+m_r$da das Fahrzeug die zu erschöpfende Reaktionsmasse trägt.

Analysiert man es von einem anderen Inertialsystem B geht es zunächst mit einer Geschwindigkeit weiter$v$in Bezug auf das Fahrzeug), finden Sie heraus, dass die kinetische Energievariation wieder ist$W$, obwohl die gesamte kinetische Energie einen anderen Term enthält$(m_s+m_r)v^2/2$Dies ist die anfängliche kinetische Energie des Fahrzeugs im Trägheitssystem B.

Wir können jetzt die erste Frage beantworten:

Werden 5 kJ Energie immer 10 m/s Relativgeschwindigkeit erzeugen, wenn man von 100-kg-Raumschiffen ausgeht?

Die Antwort ist fast ja (in der klassischen Mechanik), vorausgesetzt , alle anderen Dinge an Bord bleiben gleich. Richtig ist, dass das Fahrzeug immer die gleiche Geschwindigkeit in Bezug auf sein vorheriges Trägheitssystem gewinnt, vorausgesetzt, es verbraucht seine Energie auf die gleiche Weise. Wofür wären Trägheitsrahmen sonst noch da?$\,$?

Die Größe dieser Geschwindigkeit wird jedoch weniger als 10 m/s betragen, da die aufgewendete Energie als kinetische Energie zwischen dem Raumschiff und der erschöpften Reaktionsmasse geteilt werden muss. Das Aufteilungsverhältnis bleibt bei den hier bereitgestellten Daten offen, ebenso die Geschwindigkeitssteigerung.

Da alle Trägheitsrahmen relativ zueinander eine konstante Geschwindigkeit haben und da sich Geschwindigkeiten in der klassischen Mechanik vektoriell addieren, schätze ich, dass all dies in allen Trägheitsrahmen wahr bleibt.

Aber wie gesagt, das stimmt, wenn alle anderen Dinge an Bord gleich bleiben. Wir nahmen an, dass die Schiffsmasse irgendwie konstant gehalten wird (Masse wird durch Übertragung von einem anderen Schiff aufrechterhalten: räumliches Auftanken?). Die andere Sache, die unverändert bleiben muss, ist das Verhältnis der Energieverteilung zwischen der Schiffsbeschleunigung und der Beschleunigung der erschöpften Masse, gemessen im Trägheitsrahmen des Schiffes kurz vor der Beschleunigung. Dieses Inertialsystem ändert sich natürlich mit jeder Beschleunigung.

Tatsächlich wird die Energie proportional zu den jeweiligen Geschwindigkeiten des Schiffs und der erschöpften Reaktionsmasse im Trägheitsrahmen des Schiffs vor der Beschleunigung geteilt. Wenn Sie mit multiplizieren$v_c v_r/2$in der Impulserhaltungsformel erhalten Sie$K_c v_r + K_r v_c =0$, wo$K_c$und$K_r$sind kinetische Energien. Es folgt dem$K_c/K_r=-v_c/v_r=m_r/m_c$, die letzte Gleichheit, die sich direkt aus der Impulserhaltungsformel ergibt.

Vom Schiff aus gesehen wird die Energieaufteilung durch die Steuerung der Abgasgeschwindigkeit (oder der erschöpften Reaktionsmasse) gesteuert. Unter der Annahme, dass die Massenänderung vernachlässigbar ist, lautet die Antwort auf die Frage ja, bei 5 kJ Energie steigt die Geschwindigkeit immer um den gleichen Betrag, obwohl sie weniger als 10 m / s beträgt, vorausgesetzt, die Abgasgeschwindigkeit wird nicht geändert. Es ist eher Geschwindigkeit als Geschwindigkeit, da das Fahrzeug seine Ausrichtung ändern könnte.

Zurück zur Erde

Dies führt zur zweiten Frage:

Wenn 5kJ immer 10m/s erzeugen, warum erzeugen die zweiten 5kJ nur 4,1m/s?

Nun, das galt für das Fahrrad, und wie bereits angedeutet, ist die Situation etwas anders, weil die Reaktionsmasse die Erde selbst ist.

Wenn das Fahrrad anfangs im Bodenrahmen der Erde ruht, war es, als ob die Erde eine vom Fahrrad getragene Reaktionsmasse wäre (bist du nicht stark?). Wenn das Fahrrad durch Drücken auf die Erde beschleunigt wird, ist die Masse auf dem Planeten so, dass es sich in seinem ursprünglichen Rahmen im Wesentlichen nicht bewegt, während das Fahrrad dies tut, jedoch langsam. Wenn wir also die obige Formel für das Energieverteilungsverhältnis betrachten, das Geschwindigkeitsverhältnis$v_c/v_r$ist praktisch unendlich, weil$v_r$ist quasi null. Dasselbe gilt dann für das Energieverhältnis$K_c/K_r$, damit die gesamte Energie zum Fahrrad geht und keine zum Planeten. Und das ist der Grund, warum das Fahrrad auf 10 m/s beschleunigt und die gesamte Energie in kinetische Energie umwandelt.

Bei der zweiten Beschleunigung ist die Situation jedoch anders. Im Fall des Raumschiffs trägt es seine Reaktionsmasse mit seiner eigenen Geschwindigkeit. Aber im Fall des Fahrrads wird die zweite Beschleunigung erhalten, indem auf eine Reaktionsmasse gedrückt wird, die sich in Bezug auf das Fahrrad bewegt. Es ist wie ein Astronaut im Weltraum, der einen großen Felsen überholt und ihn im Vorbeigehen tritt, um mehr Geschwindigkeit zu bekommen, nicht wie ein Schiff, das Masse ausstößt, die es in seinem eigenen Trägheitsrahmen trägt.

Die Analyse kann dann im Rahmen des Felsens durchgeführt werden, was unserer Analyse im Erdrahmen ähnlich ist, oder im Anfangsrahmen des Astronauten, was der Analyse im Rahmen des Buddy-Fahrrads B ähnlich ist.

Als vorläufigen Abschluss gibt es auch Raumschiffe, die die „ Kick-in-Passing “-Technik zum Beschleunigen anwenden. Sie sind immer noch Science-Fiction, aber sie wurden ernsthaft in Betracht gezogen. Sie sind die Staustrahl- Raumschiffe und funktionieren ein bisschen wie Staustrahl-Flugzeuge, mit den gleichen Beschränkungen hinsichtlich der Mindestgeschwindigkeit, verwenden aber Weltraumstaub und -gas anstelle von Luft als beschleunigte Reaktionsmasse. Die „ fortgeschrittenere Version “, der Bussard-Ramjet , soll auch Energie aus dem umgebenden Weltraum sammeln, aber das ist eine andere Geschichte.

Beachten Sie, dass die "Brenner" hier eine Beschleunigung erzeugen, indem sie sich schnell bewegende Masse ausstoßen. Die Impulserhaltung führt dazu, dass das Schiff schneller fährt. Beide Beobachter messen dieselbe Geschwindigkeitsänderung.

Jemand in einem "stationären" Rahmen (oder einem anderen Rahmen mit einer anderen Geschwindigkeit) misst jedoch dieselbe Geschwindigkeitsänderung, aber eine andere Energieänderung. Geschwindigkeit, Energie und Impuls sind alle relativ, aber für Trägheitsrahmen sind Geschwindigkeit und Impuls linear relativ (also können wir eine Konstante für eine gegebene Transformation addieren oder subtrahieren), während Energie quadratisch ist.

Angenommen, 100 kg schwere Raumschiffe, werden 5 kJ Energie immer 10 m/s Relativgeschwindigkeit erzeugen?

In diesem Fall, wo die anfängliche relative Geschwindigkeit 0 ist, ja. Aber nicht generell, denn wenn sie mit einem anderen anfangen

Sowohl Impuls als auch Geschwindigkeit müssen sich auf dasselbe beziehen. Mit anderen Worten, wenn die beiden Radfahrer gleich schnell fahren, ist der Impuls des einen Radfahrers relativ zum anderen Null. Wenn sie zusammenprallten und sich beide mit der gleichen Geschwindigkeit bewegten, würde nichts passieren.

Was die Formel angeht, kann man das nicht sagen$5KJ$produziert$10m/s$und dann noch eins$5KJ$ $4.14 m/s$. Die Formel ist nicht assoziativ.

Um zuerst Ihre letzte Frage zu beantworten: Die Energie hängt vom Quadrat der Geschwindigkeit ab, nicht von der Geschwindigkeit selbst.

$$E \propto v^2$$ oder $$v \propto \sqrt{E}$$

Das heißt, wenn Sie die Geschwindigkeit verdoppeln, würden Sie den Energieeintrag vervierfachen . Für das Beispiel, das Sie gegeben hatten, um eine Geschwindigkeit von zu erhalten$20$ $m/s$Sie müssten einen Energieeinsatz von abgeben$20$ $kJ$. Wenn Sie also die Energiezufuhr verdoppeln, sehen Sie nur eine Zunahme der Geschwindigkeit proportional zu$\sqrt 2$, und in Ihrem Fall ist das$1.414 * 10 = 14.14$, das ist genau das, was Sie bekommen haben.

Hoffentlich beseitigt dies etwas von Ihrer Verwirrung. Um Ihre Titelfrage zu beantworten: Wie andere Antworten bereits betont haben, sind sowohl Impuls als auch Geschwindigkeit relativ. In der speziellen Relativitätstheorie transformiert sich der Impuls als

$$p = \gamma mv$$ wo $v$ist die Geschwindigkeit des Körpers in einem Bezugssystem und $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}$$ wo $u$ist die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Bezugsrahmen. Wenn also ein Beobachter aufgrund seines Bezugsrahmens eine andere Geschwindigkeit misst, wird er auch eine andere kinetische Energie messen.

Oke, um dies intuitiver zu verstehen, lassen Sie uns das folgende Beispiel berechnen. Wir haben 3 Raketen von 100 kg Seite an Seite, die im Weltraum schweben. Rakete 1 und Rakete 2 haben die gleiche Geschwindigkeit und Rakete 3 hat eine Geschwindigkeit$v_{int}$anders als Rakete 1 und 2. Rufen Sie Rakete 1 unseren Beobachter an und versuchen Sie, Rakete 2 auf die gleiche Geschwindigkeit wie Rakete 3 zu bringen

Im Weltraum können wir nicht darüber sprechen, zu beschleunigen, ohne etwas Masse zu verbrennen, oder/und zur Relativitätstheorie zu wechseln. Um also im klassischen Regime zu bleiben, muss ich die Raketengleichung einführen

$$\Delta v = v_\text{e} \ln \frac {m_{init}} {m_{final}}$$ wo $v_e$ist sie effektive Geschwindigkeit der ausgeworfenen Masse. Und $\Delta v$ist die Geschwindigkeitsänderung der Rakete. Und $m_{init}$, $m_{final}$sind die Masse vor und nach der sogenannten Verbrennung. Die Geschwindigkeit des Auspuffs $V_e$im Beobachtersystem hängt mit der Geschwindigkeit des Abgases im Raketensystem zusammen $v_e$durch (da die Abgasgeschwindigkeit in die negative Richtung geht) $$V_e=V_{rocket}-v_e$$

Nehmen wir nun an, Rakete 2 hat einen solchen Motor, dass, wenn sie 1 kg Treibstoff ausstößt ($\Delta m$) es wird eine Geschwindigkeit erreichen$V$gleich Rakete 3. so

$$\Delta v = V - 0 = v_e \ln\frac{100}{99}\approx0.01 v_e$$ unser theoretischer Motor hat also a $v_e$von 100. Was uns sagt, dass eine Staub- oder Kraftstoffwolke mit einer Geschwindigkeit von in die andere Richtung fliegt $100V$Jetzt überprüfen wir die kinetische Energie, die verwendet wird, um diese Geschwindigkeit zu erreichen. $$E_2 = \frac{1}{2} \left[ m_{final} * V_{final}^2 + \Delta m*(V_e)^2\right] \\=\frac{1}{2} \left[ 99 * V^2 + 1*(100V)^2\right] \\ = \frac{1}{2} \left[ 99 * V^2 + 10000*V)^2\right] \\ = \frac{1}{2} 100 99 * V^2$$ Wobei ich die kinetische Energie der ausgestoßenen Masse plus die endgültige kinetische Energie der Rakete addiert habe. Sie können deutlich sehen, dass die Menge an chemischer Energie, die in kinetische Energie umgewandelt wird, stark von Ihrer Wahl abhängt $\Delta m$. Das ist also im Weltraum, wo wir eine sehr kleine Menge unserer Masse ausgestoßen haben und das Ergebnis ist, dass wir eine sehr große Menge an Energie (im Vergleich zu unserer endgültigen kinetischen Energie) benötigen, um unsere Zielgeschwindigkeit zu erreichen.

Aber warum stoßen sie dann keine Massenmaterie für ein Fahrrad aus? Der Grund dafür ist, dass die auf der Erde ausgestoßene Masse sehr sehr groß ist. Im Grunde erden Sie sich so$v_e$wird der zusätzliche Term immer kleiner$\Delta m v_e^2$wird immer kleiner. das liegt daran das$v_e$Quadrate und$m$ist nur linear.

Wenn Sie also fragen, wird es immer 10 m / s Delta erzeugen, v antworten sie, es kommt darauf an. Fahren Sie immer noch mit dem gleichen Massenverhältnis, weil das in der Raketenmechanik am wichtigsten ist?

Die kinetische Energie ist rahmenabhängig.

Der Grund ist sehr einfach: kinetische Energie ist die Differenz zwischen Mc^2 (ich weiß nicht, wie man hier quadratisch schreibt) und der Ruheenergie M0c^2. M hängt von v ab, das vom Rahmen abhängt, also hängt die kinetische Energie von obv vom Rahmen ab.

Hinweis: Ich habe versucht, Ihnen eine andere logische Erklärung als E=1/2mv^2 zu geben