Wie kann Länge ein Vektor sein?

$d\vec \ell$ist keine Länge. Es ist ein Vektor unendlich kleiner Länge (von length$d\ell$), also in Richtung des Stromflusses.

Strom hingegen ist ein Vektor, da er in bestimmte Richtungen fließt. Es wird oft (aus historischen Gründen) nicht durch ein Vektorzeichen angezeigt, da in Schaltkreisen der Strom entlang des Drahtes fließt, der ihn trägt.

Beachten Sie außerdem, dass es im speziellen Fall von Biot-Savart ein historisches Problem mit der Notation gibt. Die Notation$Id\vec \ell$sollte wirklich sein$\vec I\,d\ell$: Das würde Ihre Verwirrung beseitigen, aber Geschichte ist Geschichte. In der Tat können Sie die Eigenart der Notation erkennen, indem Sie die Quellausdrücke vergleichen:

$$\begin{align} \vec B\propto\left\{ \begin{array}{ll} Id\vec \ell \times \frac{\hat r}{r^2}&\hbox{ for linear current distributions}\, ,\\ \vec K\,dS\times \frac{\hat r}{r^2}&\hbox{ for surface current distributions}\, ,\\ \vec J\,dV\times \frac{\hat r}{r^2}&\hbox{ for volume current distributions}\, ,\end{array}\right. \end{align}$$ deutlich darauf hindeutet, dass, um mit den Oberflächen- und Volumenausdrücken übereinzustimmen, die Strömung $I$sollte vektoriell sein, aber das Linienelement $d\vec \ell$sollte skalar sein.

Länge oder Abstand ist kein Vektor. Die Vektorgröße ist die Verschiebung .

In Integralen wie dem im Biot-Savart-Gesetz gilt

$$\mathbf B = \int_C \frac{I \, d \mathbf l \times \mathbf r'}{|\mathbf r '|^3},$$ das Integral liegt über einer Kurve $C$, Und $d\mathbf l$stellt eine infinitesimale Verschiebung entlang der Kurve dar. Genauer gesagt ist es eine Tangente an die Kurve, die rote Linie in der Abbildung unten, die die Grenze der grünen Linie ist, eine Sekante, wenn sich die beiden Schnittpunkte einander nähern. Wie Sie sehen können, hat es eine Richtung, also muss es eine Vektorgröße sein.

Weiter aktuell$I$ist immer ein Skalar, weil der Strom als die Ladungsmenge definiert ist, die durch eine Fläche pro Zeiteinheit fließt. Daher muss es ein Skalar sein. In der Elektrodynamik ist es jedoch üblicher, sich mit der Stromdichte zu befassen $\mathbf j$, die eine Vektorgröße ist und sowohl die fließende Ladungsmenge als auch ihre Richtung codiert. Zum Beispiel, wenn es welche gibt$n$Ladungsträger pro Volumeneinheit (skalar), jeweils mit Ladung$q$(skalar), und ihre Geschwindigkeit ist$\mathbf v$(eine Vektorgröße), die Stromdichte ist

$$\mathbf j = qn\mathbf v.$$

Die jetzige$I$ obwohl eine Oberfläche $S$wird durch Integrieren des Flusses durch ihn gefunden:

$$I = \int_S \mathbf j \cdot d\mathbf S$$ was ein Skalar ist, da es ein Skalarprodukt enthält.

In einem dünnen Draht kann Strom nur entlang des Drahtes fließen, daher muss die Stromdichte immer entlang sein$d \mathbf l$, und seine Größe wird durch das gesamte Stromwesen festgelegt$I$, so dass es nicht wirklich notwendig ist, das Konzept einzuführen. Bei zwei- oder dreidimensionalen Leitern muss jedoch die Stromdichte eingeführt werden, und dann nimmt das Biot-Savart-Gesetz Gestalt an

$$\mathbf B = \int_V \frac{\mathbf j \times \mathbf r'}{|\mathbf r'|^3} \, dV$$ die auf die erste Form reduziert werden kann, indem die Stromdichte proportional zu einem geeigneten Dirac-Delta angenommen wird.

Während die Länge kein Vektor ist, ist die Verschiebung sicherlich eine. Wenn Physiker verwenden$\mathrm{d}\boldsymbol{l}$, sie sprechen nicht von einem kleinen Stück Fläche, sondern von einem kleinen Stück Verschiebung. Insbesondere dann, wenn die im Biot-Savart-Gesetz verwendete geschlossene Kurve durch eine Funktion gegeben ist$\textbf{r}(\lambda)$Wo$\textbf{r}$ist die Position eines Punktes auf der Kurve und$\lambda$ein Parameter ist, dann definieren wir im Wesentlichen

$$\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\frac{\mathrm{d}\textbf{r}}{\mathrm{d}\lambda}\mathrm{d}\lambda$$

Dies ist nur der Vektor, der die Kurve an einem Punkt tangiert, dessen Betrag die zurückgelegte Strecke nach einer Änderung ist$\mathrm{d}\lambda$.

Das sollte nicht zu fremd sein. Wenn Sie das Gesetz von Gauß studiert haben (ich nehme an, Sie haben es getan), dann stoßen Sie auf Integrale der Form

$$\int_{\Sigma}\textbf{E}\cdot\mathrm{d}\textbf{S}$$

Wo$\mathrm{d}\textbf{S}$ist der "Vektorbereich". Dies ist einfach ein Vektor senkrecht zu$\Sigma$an einem Punkt, dessen Länge gleich der infinitesimalen Fläche ist, die durch Änderung der Parameter der Oberfläche um einen kleinen Betrag nachgezeichnet wird.

Nun zu deiner Frage zum Strom. Strom ist ein Vektor, da er in Bezug auf die Geschwindigkeit bewegter Ladungen definiert ist. Das Biot-Savart-Gesetz in seiner Standardform besagt

$$\textbf{B}(\textbf{r})=\int_{C}I(\textbf{r}')\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\textbf{r}'}{|\textbf{r}'|^3}$$

Mit$\textbf{r}'=\textbf{r}-\boldsymbol{l}$. Die Entscheidung zu schreiben$I$als Skalar und$\mathrm{d}\boldsymbol{l}$als Vektor war ein historischer, und man könnte das Biot-Savart-Gesetz genauso genau schreiben wie

$$\textbf{B}(\textbf{r})=\int_{C}\mathrm{d}l\,\frac{\textbf{I}(\textbf{r}')\times\textbf{r}'}{|\textbf{r}'|^3}$$

Die Gründe für die Auswahl$\mathrm{d}\boldsymbol{l}$liegt im Wesentlichen darin, dass Vektorlinienintegrale in der Physik typischerweise mit Vektordifferentialen geschrieben werden. Wenn Sie jedoch den Strom als Vektor behandeln möchten (was physikalisch sinnvoller ist), fahren Sie fort.

Ich hoffe, das hat geholfen!

Das Gesetz von Biot-Savart ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren, des Stromvektors und des Vektors, der den Punkt darstellt, dessen Magnetfeld Sie berechnen möchten. Es ist einfacher zu verstehen, wenn man das Gesetz für ein einzelnes geladenes Teilchen verwendet.

$$\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}·q·\frac{\vec v \times \vec r}{{\lvert \vec r \rvert}^2}$$

Macht jetzt mehr Sinn oder? Das Problem ist, dass Sie dies nicht für einzelne Partikel berechnen, sondern für den Stromfluss. Dieser Stromfluss wird also durch die Anzahl der Elektronen n-mal ihrer Durchschnittsgeschwindigkeit bestimmt.

$$\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}·n·q·\frac{\vec v \times \vec r}{{\lvert \vec r \rvert}^2}$$

Noch nicht gut genug, Sie wissen nicht, wie viele Einzelladungen es für einen bestimmten Punkt im Raum gibt. Sie kennen jedoch den Strom an einem bestimmten Punkt des Kabels. Für jedes dl des Drahts entspricht die Anzahl der Elektronen mal ihrer Geschwindigkeit dem Strom mal dl mal dem Richtungsvektor des Drahts.

$$I·dl·\vec u_w =I·\vec {dl}= n·q.\vec v$$

$$\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\vec {dl} \times \vec r}{{\lvert \vec r \rvert}^2}$$

Sie sehen also, der Vektor, den Sie sehen (in diesem und vielen anderen Beispielen), ist lediglich ein einheitlicher Vektor des Abstands multipliziert mit dem Längendifferential. Die Länge selbst ist ein Skalar. Dieser Vektor ist vergleichbar mit der Aussage, dass Sie mit der dl-Länge arbeiten müssen, aber die Richtung dessen berücksichtigen müssen, womit Sie arbeiten (in diesem Fall Strom).

Hoffe, das hat die Dinge geklärt

• $\vec l$ist Verschiebung (oder Position ) und$l$ist seine Größe, Entfernung oder Länge genannt .

Du hörst vielleicht, dass Leute Verschiebung für Länge nennen, weil sie im nächsten Moment schnell die Länge berechnen. Schlampige Worte, das ist alles.

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• $I$ist definiert als die Ladungsmenge, die pro Sekunde durch einen Querschnitt fließt. Ebenso wie die Geschwindigkeit ist die zurückgelegte Strecke pro Sekunde . Unabhängig von der Richtung. Das ist nur eine Definition.

Diese Definition von$I$kümmert sich nicht um die Richtung, normalerweise weil Drähte eindimensional sind. Wenn eine Richtung benötigt wird, verwenden die Leute normalerweise$I/\vec A$, so dass der Strom im Vergleich zu der Fläche, durch die er fließt, gesehen wird. Seit$I$richtungslos definiert ist, muss der Fläche stattdessen eine Richtung gegeben werden (definiert als die Normale, die senkrecht von ihr weg zeigt). Diese Größe wird üblicherweise als Stromdichte bezeichnet .

Dies ist nur eine Definition. Wenn Sie den Strom als Vektor sehen$\vec I$Überall definieren sie diese Größe neu (machen ihre eigene leicht veränderte Definition), die sie klar angeben müssen/sollten. Tatsächlich habe ich dieselbe Frage vor einiger Zeit gestellt, da ich Ihren Zweifeln zustimme, und Sie finden Antworten in diesem Beitrag .