Wie kann man angesichts des Potenzials feststellen, ob eine Umlaufbahn geschlossen ist?

Question

Wie kann man angesichts des Potenzials feststellen, ob eine Umlaufbahn geschlossen ist?

Keim

Ich arbeite an einer Hausaufgabe, in der ich die Bewegungsarten besprechen soll, die Umlaufbahnen unter einem bestimmten Potenzial haben können. Bisher habe ich das Energiediagramm für eine solche Situation gezeichnet und die verschiedenen Bewegungsarten in Abhängigkeit von der Anfangsenergie betrachtet.

Was ich mich jedoch frage, ist, ob es möglich ist, herauszufinden, ob die elliptischen Umlaufbahnen, die das Potenzial zulässt, präzedieren oder nicht. Außerdem möchte ich wissen, ob ich feststellen kann, ob die elliptischen Bahnen geschlossen sind (dh $r(t) = r(t+\Delta t)$ für einige $t$ ) aus meinem Energiediagramm und/oder dem angegebenen Potential?

Ich versuche, diese Frage zu beantworten, ohne zu quantitativ zu sein. Ich suche auch nur nach Hinweisen in die richtige Richtung, nicht unbedingt nach einer vollständigen Antwort.

Ich habe auch das entsprechende Energiediagramm grafisch dargestellt, und ich bekomme etwas, bei dem ich nicht ganz sicher bin, wie ich es interpretieren soll. Im Wesentlichen scheint es eine gewisse Abstimmung der Parameter zu geben, bei der es zu einer gebundenen Ellipsenbahn kommen kann $E \gt 0$ . Ich hatte den Eindruck, dass eine gebundene Umlaufbahn negative Energie erfordert (in dem Sinne, dass wir Nullenergie als unendlich definieren). Übersehe ich hier etwas?

Update: Ich denke, meine Frage zum Schließen von Umlaufbahnen ist größtenteils beantwortet. Ich habe mich nur gefragt, ob etwas an meinem Energiediagramm darauf hinweisen könnte, dass eine bestimmte elliptische Umlaufbahn präzedieren könnte. Insbesondere habe ich meinem Diagramm zwei Punkte hinzugefügt, die eine anfängliche gegebene Energie zeigen, die positiv ist. Wenn ich das Diagramm richtig verstehe, sollte das Teilchen zwischen den Radien dieser beiden Punkte auf dem Diagramm oszillieren. Allerdings anders als bei normalen $1/r$ Potenziale scheinen diese Bahnen gebunden zu sein, haben aber dennoch positive Energie. Ist das erlaubt? Ich hatte den Eindruck, dass die Energie negativ sein muss, um gebunden zu bleiben, aber es scheint, als wäre es möglich, eine positive Energie zu haben und immer noch eine gebundene elliptische Umlaufbahn zu haben.

QMechaniker

Eine elliptische(n) Umlaufbahn ist per Definition geschlossen. Was Sie beschreiben, ist eine begrenzte Umlaufbahn, die geschlossen sein kann oder nicht.

Dirakula

Sie könnten auch am Satz von Bertrand interessiert sein .

Keim

@Qmechanic Es besteht eine gute Chance, dass ich meine Begriffe verwechsle, aber ich dachte, wenn eine Umlaufbahn eine präzedierende Ellipse mit einem irrationalen Bruchteil von ist

2 π

$2\pi$ , es schließt nicht?

äh

@Qmechanic hat Recht, aber in Wirklichkeit nennen wir ungefähr elliptische Umlaufbahnen die ganze Zeit "elliptisch". Da die Schwerkraft weitreichend und ungeschützt ist, kann keine reale Umlaufbahn perfekt mit einer endlichen Reihe von Adjektiven beschrieben werden. Sie sagen eindeutig, dass die Umlaufbahn von Merkur elliptisch ist. zum Beispiel scheint hier für Benutzer mit höheren Wiederholungszahlen durchaus akzeptabel zu sein (obwohl diese Antwort selbst problematisch ist).

Antworten (1)

Wie kann man angesichts des Potenzials feststellen, ob eine Umlaufbahn geschlossen ist?

Eine elliptische(n) Umlaufbahn ist per Definition geschlossen. Was Sie beschreiben, ist eine begrenzte Umlaufbahn, die geschlossen sein kann oder nicht.
@Qmechanic Es besteht eine gute Chance, dass ich meine Begriffe verwechsle, aber ich dachte, wenn eine Umlaufbahn eine präzedierende Ellipse mit einem irrationalen Bruchteil von ist $2\pi$ , es schließt nicht?
@Qmechanic hat Recht, aber in Wirklichkeit nennen wir ungefähr elliptische Umlaufbahnen die ganze Zeit "elliptisch". Da die Schwerkraft weitreichend und ungeschützt ist, kann keine reale Umlaufbahn perfekt mit einer endlichen Reihe von Adjektiven beschrieben werden. Sie sagen eindeutig, dass die Umlaufbahn von Merkur elliptisch ist. zum Beispiel scheint hier für Benutzer mit höheren Wiederholungszahlen durchaus akzeptabel zu sein (obwohl diese Antwort selbst problematisch ist).

ZeroTheHero · Answer 1

Es ist nicht genug zu haben $r(t)=r(t+\Delta t)$ : Sie müssen gleichzeitig haben $\phi(t)=\phi(t+\Delta t)$ Wo $\phi$ ist der Winkelfreiheitsgrad. Anders ausgedrückt, Sie benötigen die Radial- und Winkelperioden $T_r$ Und $T_\phi$ angemessen sein, dh ihr Verhältnis muss eine rationale Zahl sein $n/m$ .

Das liegt daran, dass Sie die Umlaufbahn benötigen, die durch die Koordinaten beschrieben wird $(r,\phi)$ , um sich genau nachzuvollziehen. Wenn $T_r/T_\phi$ irrational ist, dann wird sich die Umlaufbahn niemals genau auf sich selbst schließen und schließlich jeden Punkt ausfüllen $(r,\phi)$ Raum dazwischen $r_{min}$ Und $r_{max}$ .

Nicht jede Art von Potential kann geschlossene Bahnen erzeugen. Dies wird zum Beispiel in Marion und Thorntons Classical Dynamics und in mehreren Lehrbüchern auf demselben Niveau diskutiert.

Bearbeiten: Es reicht nicht aus, nur die Energie zu kennen.

Zum Beispiel das Potenzial

v (R) = - \frac{k}{R} - \frac{λ}{2 R^{2}}

$V(r)=-\frac{k}{r}-\frac{\lambda}{2r^2}$ führt zum effektiven Potenzial

V_{e f f} = \frac{ℓ^{2} - λ m}{2 m r^{2}} - \frac{k}{r}

$V_{eff}=\frac{\ell^2-\lambda m}{2 m r^2}-\frac{k}{r}$ .

Wenn $\lambda<\ell^2/\mu$ Und $-mk^2/(2(\ell^2-m\lambda))\le E\le 0$ Wir haben also gebundene Zustände, die Bewegung wird durch eine präzedierende Ellipse beschrieben, mit

ϕ = ϕ_{0} - \frac{1}{β} \arccos (\frac{k - u (β^{2} ℓ^{2} / M)}{\sqrt{k^{2} + (2 β^{2} ℓ^{2} E / M)}})

$\phi=\phi_0-\frac{1}{\beta}\arccos\left(\frac{k-u(\beta^2\ell^2/{m})}{\sqrt{k^2+(2\beta^2\ell^2E/m)}}\right)$ mit

u = 1 / r

$u=1/r$ Und

β^{2} = 1 - m λ / ℓ^{2} > 0

$\beta^2=1-m\lambda/\ell^2>0$ oder im Sinne von

r

$r$ :

R (ϕ) = \frac{R_{0}}{1 - e \cos β (ϕ - ϕ_{0})}

$r(\phi)=\frac{r_0}{1-e\cos\beta(\phi-\phi_0)}$ für einige

r_{0}

$r_0$ Und

e

$e$ .

r_{0}

$r_0$ Und

e

$e$ kann durch die anderen Größen des Problems ausgedrückt werden. Wenn

β

$\beta$ rational ist, dann ist das Verhältnis von Winkel- zu Radialperiode gegeben durch

T_{ϕ} / T_{r} = β

$T_\phi/T_r=\beta$ und ist auch vernünftig.

Zum Beispiel mit $r_0=1$ , die ersten beiden Abbildungen unten zeigen geschlossene Bahnen, mit $(e,\beta)=(\frac{4}{5},\frac{4}{5})$ Und $(\frac{4}{5},\frac{1}{3})$ bzw.

Die folgende Abbildung zeigt eine nicht geschlossene Umlaufbahn mit $(e,\beta)=(\frac{4}{5},\frac{2+\pi}{2\pi})$ .

Auch wenn also ein Potential prinzipiell geschlossene Bahnen aufnehmen kann, müssen die Bahnen nicht immer geschlossen sein. Nach dem Satz von Bertrand kann nur ein Teil des Potenzials geschlossene Umlaufbahnen aufnehmen.

Das Energiediagramm garantiert, dass Sie eine begrenzte Bewegung haben, aber nicht unbedingt geschlossene Umlaufbahnen.

Danke für die Antwort. Sie haben Recht, ich habe den Winkelfreiheitsgrad vergessen, also danke für den Hinweis. Ich kann mir dann vorstellen, dass es dann nicht ausreichen wird, nur das Energiediagramm zu betrachten, richtig? Ich müsste die radiale und winklige Flugbahn finden, bevor ich dieses Verhältnis berechnen könnte.
@ Jeremy Du hast Recht. Natürlich muss die Energie Ihres Teilchens so sein, dass es zwei Wendepunkte hat $r$ aber auch das muss man sich anschauen $\phi$ . Die Bahngleichung wird oft als DE in ausgedrückt $dr/d\phi$ und das kann ein guter Ausgangspunkt sein.
Okay, fantastisch. Ich werde versuchen, es auf diese Weise zu analysieren. Übrigens, spricht etwas dafür, dass dort eine gebundene Ellipse zu sein scheint, wo $E \gt 0$ ? Wenn ich das mit dem Üblichen vergleiche $1/r$ Potential ist die Energie für gebundene Bahnen immer negativ und von unten gegen Null asymptotisch, während diese Funktion von oben gegen Null asymptotisch ist. Ich versuche herauszufinden, ob sich daraus etwas ablesen lässt?
Dies ist hilfreich, um den Begriff "geschlossen" zu definieren, obwohl ich nicht sicher bin, ob es alle zufrieden stellen würde, wenn es einfach zweimal denselben Punkt passiert, aber mit einer anderen Geschwindigkeit. Dies ist jedoch noch keine Antwort auf die Frage "Wie kann man angesichts des Potenzials feststellen, ob eine Umlaufbahn geschlossen ist?" und nur Marion zu erwähnen, ohne die Informationen hier aufzunehmen, ist eine Nur-Link-Antwort ohne Link . Können Sie eine tatsächliche Diskussion darüber hinzufügen, was man tun würde, wenn man sich ein Potenzial ansieht, um zu entscheiden, ob es geschlossene Umlaufbahnen haben kann?
@uhoh. Ich bin mir nicht sicher, ob ich dem Punkt mit den Geschwindigkeiten folge. Orbits sind geschlossen, wenn die Kurve $(r(t),\phi(t))$ setzt sich schließlich selbst zurück. Dies erfordert mehr als diese Kurve, die sich selbst schneidet. Eine einfache G-Suche von Marion and Thornton Classical Dynamics reicht aus, um die Referenz zu finden. Das OP wollte einige qualitative Argumente, daher würde ich mich lieber von Details fernhalten, die in verschiedenen Lehrbüchern leicht zu finden sind.
Schöne Bearbeitung, sehr schön! Eine bessere Art zu sagen, was ich meinte, wäre einfach hinzuzufügen "für alle". $t$ > $t_0$ " Wo $t_0$ ist eine endliche Zeit, so dass es nicht nur für diskrete Werte von gilt $t$ wobei sich die Trajektorie einfach selbst schneidet oder sich selbst tangiert. Mag für die meisten offensichtlich sein, aber Mathe ist das, was es ist ...

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