So zeigen Sie eine kreisförmige Umlaufbahn als präzedierende Ellipse an

Question

So zeigen Sie eine kreisförmige Umlaufbahn als präzedierende Ellipse an

Benutzer56199

Eine gleichmäßige Staubverteilung im Sonnensystem fügt der Anziehungskraft der Sonne auf den Planeten eine zusätzliche lineare Kraft hinzu $r$ wobei m die Masse des Planeten ist, k eine Konstante ist (proportional zur Gravitationskonstante und der Dichte des Staubs) und ⃗r der Radiusvektor von der Sonne zum Planeten ist. Diese zusätzliche Kraft ist sehr klein im Vergleich zur direkten Gravitationskraft Sonne-Planet.

Zeigen Sie, dass nahezu kreisförmige Bahnen durch eine präzessive Ellipse angenähert werden können und bestimmen Sie die Präzessionsfrequenz. Ist die Präzession in gleicher oder entgegengesetzter Richtung wie die Bahnwinkelgeschwindigkeit?`

Ich kann die Präzessionsfrequenz berechnen, indem ich die Differenz zwischen der kleinen Schwingungsfrequenz und der Frequenz der Kreisbewegung notiere. Aber ich habe wenig Ahnung, wie ich den ersten Teil beweisen soll. Hinweise wären willkommen.

Meine eigene Arbeit ist wie folgt: -

Euler Lagrange EOM:-

$ma_{r}=\frac{l^2}{mr^3}-\frac{GM_{s}m}{r^3}-mkr$ Die Linearisierung ergibt eine Frequenz kleiner Schwingungen um eine Kreisbewegung $w_{osc}=w_{0}+\frac{3k}{w_{0}}$ Wo $w_{0}$ ist die Frequenz der Kreisbewegung. Die Differenz zwischen den beiden Frequenzen $w_{osc}-w_{0}$ kann als Präzessionsfrequenz verstanden werden. Ich bin mir nicht sicher, wie dies die Präzession der Ellipse ist und wie nachgewiesen werden kann, dass die Präzession der Ellipse eine nahezu kreisförmige Umlaufbahn ergibt. Will zeigen, dass die Winkelgeschwindigkeit $w_{0}$ fast ständig arbeiten?

David Hammen

Ihre Frage läuft Gefahr, als Hausaufgabe mit unzureichender Arbeit, als unklar oder unbeantwortet abgeschlossen zu werden. Sie müssen einige Arbeiten vorweisen, und es wäre hilfreich, Ihren Bildungshintergrund anzugeben. Hinweis: Wenn Sie wissen, was der Begriff "Planetengleichungen von Lagrange" bedeutet, sollten Sie diese verwenden. Wenn das wie eine Fremdsprache klingt, müssen Sie etwas anderes verwenden.

Benutzer56199

@DavidHammen: die Änderungen vorgenommen.

Doktor Schiwago

Nicht ein Physiker, aber ich finde die Frage im empirischen Sinne durchaus gültig. Da wir das Gesetz der großen Körper haben UND "das, was in Bewegung ist, neigt dazu, in Bewegung zu bleiben", würde ich argumentieren, dass eine Form der "interstellaren Oberflächenspannung" tatsächlich hart daran arbeitet, zu versuchen ... und nur letztendlich erfolgreich ... zu bleiben die Planeten in einer "größtenteils kreisförmigen" Umlaufbahn. Ich finde immer noch die Tatsache, dass Merkur nicht gezeitengebunden an die Sonne gebunden ist (eine sehr neue Entdeckung), während der wirklich massive Mond der Erde für die Erde sehr seltsam ist. Vielleicht haben wir die Masse der Sonne stark überschätzt, während wir unsere eigene Masse stark unterschätzt haben?

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So zeigen Sie eine kreisförmige Umlaufbahn als präzedierende Ellipse an

Ihre Frage läuft Gefahr, als Hausaufgabe mit unzureichender Arbeit, als unklar oder unbeantwortet abgeschlossen zu werden. Sie müssen einige Arbeiten vorweisen, und es wäre hilfreich, Ihren Bildungshintergrund anzugeben. Hinweis: Wenn Sie wissen, was der Begriff "Planetengleichungen von Lagrange" bedeutet, sollten Sie diese verwenden. Wenn das wie eine Fremdsprache klingt, müssen Sie etwas anderes verwenden.
Nicht ein Physiker, aber ich finde die Frage im empirischen Sinne durchaus gültig. Da wir das Gesetz der großen Körper haben UND "das, was in Bewegung ist, neigt dazu, in Bewegung zu bleiben", würde ich argumentieren, dass eine Form der "interstellaren Oberflächenspannung" tatsächlich hart daran arbeitet, zu versuchen ... und nur letztendlich erfolgreich ... zu bleiben die Planeten in einer "größtenteils kreisförmigen" Umlaufbahn. Ich finde immer noch die Tatsache, dass Merkur nicht gezeitengebunden an die Sonne gebunden ist (eine sehr neue Entdeckung), während der wirklich massive Mond der Erde für die Erde sehr seltsam ist. Vielleicht haben wir die Masse der Sonne stark überschätzt, während wir unsere eigene Masse stark unterschätzt haben?

Dirakologie · Answer 1

Ich bin mir nicht sicher, wie dies die Präzession der Ellipse ist und wie nachgewiesen werden kann, dass die Präzession der Ellipse eine nahezu kreisförmige Umlaufbahn ergibt. Will zeigen, dass die Winkelgeschwindigkeit $w_0$ fast ständig arbeiten?

Betrachten Sie die folgende Abbildung, die das effektive Potential (durchgezogene Linie) eines Masseteilchens zeigt $m$ und Drehimpuls $L$ unter der Gravitationskraft $-GMm/r^2$ ,

Die Kreisbahn des Radius $r_0$ entsprechen der minimalen mechanischen Energie $-\epsilon<0$ . Diese Umlaufbahn zu stören bedeutet, eine kleine mechanische Energie hinzuzufügen, so dass die Umlaufbahn dazwischen begrenzt wird $r_{min}$ Und $r_{max}$ . Solange dieses Inkrement klein ist (die gesamte mechanische Energie kleiner als Null ist), ist die resultierende Umlaufbahn eine Ellipse. Die Störung kann auf die Gravitationsanziehung der von Ihnen erwähnten Staubverteilung zurückzuführen sein.

In diesem Beitrag von mir zeige ich Schritt für Schritt die Präzessionsrate für eine gestörte Umlaufbahn um die Kreisbahn. Dieser Satz ist

Ω = \frac{- \sqrt{F (R_{0})} - \sqrt{- 3 F (R_{0}) - R_{0} F^{'} (R_{0})}}{\sqrt{M R_{0}}},

$\Omega=\frac{-\sqrt{F(r_0)}-\sqrt{-3F(r_0)-r_0F'(r_0)}}{\sqrt{mr_0}},$ Wo

r_{0}

$r_0$ ist der Radius der Kreisbahn und die Kraft

F

$F$ wird in den Hauptbeitrag zerlegt

F_{0}

$F_0$ und die Störung

F_{p}

$F_p$ ,

F = F_{0} + F_{P} .

$F=F_0+F_p.$ Wenn

Ω > 0

$\Omega>0$ dann präzediert die Ellipsenachse gegen den Uhrzeigersinn. In Ihrem Fall,

F_{0} = - \frac{G M M}{R^{2}}, F_{P} = - M k R .

$F_0=-\frac{GMm}{r^2},\quad F_p=-mkr.$ Einstecken

Ω

$\Omega$ man bekommt

Ω = \frac{\sqrt{- F_{0} (R_{0}) - F_{P} (R_{0})} - \sqrt{- F_{0} (R_{0}) - 4 F_{P} (R_{0})}}{\sqrt{M R_{0}}} .

$\Omega=\frac{\sqrt{-F_0(r_0)-F_p(r_0)}-\sqrt{-F_0(r_0)-4F_p(r_0)}}{\sqrt{mr_0}}.$ Taylor expandiert bis zur ersten Ordnung herum

F_{p} / F_{0}

$F_p/F_0$ gibt

Ω = - \frac{3}{2} \frac{F_{P} (R_{0})}{\sqrt{- M R_{0} F_{0} (R_{0})}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{M^{2} k^{2} R_{0}^{2}}{G M M^{2} / R_{0}}} = \frac{3 k}{2} \sqrt{\frac{R_{0}^{3}}{G M}} .

$\Omega=-\frac{3}{2}\frac{F_p(r_0)}{\sqrt{-mr_0F_0(r_0)}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{m^2k^2r_0^2}{GMm^2/r_0}}=\frac{3k}{2}\sqrt{\frac{r_0^3}{GM}}.$

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Benutzer56199

David Hammen

Benutzer56199

Doktor Schiwago

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Dirakologie

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