Wie können die Maxwell-Gleichungen sowohl Photonen als auch Elektronen/Protonen beschreiben?

Das Folgende ist nicht bekannt, aber (modifizierte) Maxwell-Gleichungen können tatsächlich sowohl elektromagnetische Felder als auch Elektronen beschreiben.

@Quantumwhisp kommentierte: „Die Maxwell-Gleichungen beschreiben überhaupt keine geladenen Teilchen“ und fragte dann: „Kannst du die Lorentz-Kraft aus den Maxwell-Gleichungen ableiten?“

Ich sage nicht, dass diese Kommentare unvernünftig sind, aber überraschenderweise leitete Dirac die Lorentz-Kraft aus Maxwell-Gleichungen ab (Proc. Roy. Soc. London A 209, 291 (1951)).

Ich habe Diracs Herleitung an anderer Stelle wie folgt zusammengefasst.

Dirac betrachtet die folgenden Bedingungen der stationären Wirkung für das freie elektromagnetische Feld der Lagrange-Funktion, die der Beschränkung unterliegt$A_\mu A^\mu=k^2$:

$$\begin{equation}\label{eq:pr1} \Box A_\mu-A^\nu_{,\nu\mu}=\lambda A_\mu, \end{equation}$$ Wo$A^\mu$ist das Potential des elektromagnetischen Feldes, und$\lambda$ist ein Lagrange-Multiplikator. Die Einschränkung stellt eine nichtlineare Anzeigebedingung dar. Man kann annehmen, dass der Erhaltungsstrom auf der rechten Seite der Gleichung durch Masseteilchen erzeugt wird$m$, Aufladung$e$, und Impuls (kein verallgemeinerter Impuls!)$p^\mu=\zeta A^\mu$, Wo$\zeta$ist eine Konstante. Wenn sich diese Teilchen gemäß den Lorentz-Gleichungen bewegen $$\begin{equation}\label{eq:pr2} \frac{dp^\mu}{d\tau}=\frac{e}{m}F^{\mu\nu}p_\nu, \end{equation}$$ Wo$F^{\mu\nu}=A^{\nu,\mu}-A^{\mu,\nu}$ist das elektromagnetische Feld, und$\tau$ist die Eigenzeit des Teilchens ($(d\tau)^2=dx^\mu dx_\mu$), Dann $$\begin{equation}\label{eq:pr3} \frac{dp^\mu}{d\tau}=p^{\mu,\nu}\frac{dx_\nu}{d\tau}=\frac{1}{m}p_\nu p^{\mu,\nu}=\frac{\zeta^2}{m}A_\nu A^{\mu,\nu}. \end{equation}$$ Aufgrund der Einschränkung,$A_\nu A^{\nu,\mu}=0$, So $$\begin{equation}\label{eq:pr4} A_\nu A^{\mu,\nu}=-A_\nu F^{\mu\nu}=-\frac{1}{\zeta}F^{\mu\nu}p_\nu. \end{equation}$$ Daher sind die letzten drei Gleichungen konsistent, wenn$\zeta=-e$, und dann$p_\mu p^\mu=m^2$impliziert$k^2=\frac{m^2}{e^2}$(Bislang beschränkt sich die Diskussion auf den Fall$-e A^0=p^0>0$).

Also die erste Gleichung mit der Eichbedingung

$$\begin{equation}\label{eq:pr5} A_\mu A^\mu=\frac{m^2}{e^2} \end{equation}$$ beschreibt sowohl die unabhängige Dynamik des elektromagnetischen Feldes als auch die konsistente Bewegung geladener Teilchen in Übereinstimmung mit den Lorentz-Gleichungen. Die Wörter "unabhängige Dynamik" bedeuten Folgendes: wenn Werte der räumlichen Komponenten$A^i$des Potenzials ($i=1,2,3$) und ihre ersten Ableitungen in Bezug auf$x^0$,$\dot{A}^i$, sind zu einem bestimmten Zeitpunkt im gesamten Raum bekannt ($x^0=const$), Dann$A^0$,$\dot{A}^0$kann mit der Lehrenbedingung eliminiert werden,$\lambda$kann unter Verwendung der ersten Gleichung für eliminiert werden$\mu=0$(Die Gleichung enthält keine zweiten Ableitungen nach$x^0$für$\mu=0$) und die zweiten Ableitungen bzgl$x^0$,$\ddot{A}^i$, kann aus der ersten Gleichung für bestimmt werden$\mu=1,2,3$.

Das Obige bezieht sich jedoch auf die klassische Elektrodynamik. Was ist mit der Quantentheorie? Es stellt sich heraus, dass modifizierte Maxwell-Gleichungen der Klein-Gordon-Maxwell-Elektrodynamik oder (mit einigen Einschränkungen) der Dirac-Maxwell-Elektrodynamik entsprechen können (siehe meinen Artikel Eur. Phys. J. C (2013) 73:2371 unter https : //link.springer.com/content/pdf/10.1140/epjc/s10052-013-2371-4 ).

Das heißt, wie schafft es ein einziges Gleichungssystem, das Verhalten sowohl geladener Materie (wie Elektronen und Protonen) als auch der Ausbreitung von Photonen zu beschreiben.

Photonen sind quantenmechanisch und Maxwells Gleichungen sind klassisch, also beschreiben sie Photonen nicht. Sie beschreiben elektromagnetische Felder und Wellen.

Maxwells Gleichungen sagen nicht direkt alles über geladene Materie voraus. Wenn Sie jedoch ein von außen auferlegtes Bild haben, das zumindest eine gewisse Einschränkung für die Beschaffenheit Ihrer geladenen Materie darstellt, bieten die Maxwell-Gleichungen einen ziemlich guten Vorhersagewert. Dies liegt teilweise daran, dass Maxwells Erhaltung von Energie, Impuls und Ladung impliziert, und in vielen Fällen reichen diese Erhaltungssätze aus, um vorherzusagen, was Sie wissen möchten.

Maxwell-Gleichungen allein bestimmen nicht das Verhalten des elektromagnetischen Feldes und geladener Teilchen. Vielmehr beschreiben diese Gleichungen:

• Verhalten des freien EM-Feldes
• Kopplung dieses Feldes an Ladungen und Ströme

Mathematisch gesehen sind die Maxwell-Gleichungen unvollständig und müssen durch die Materialgleichungen gestützt werden , die die Reaktion der Teilchen auf das elektromagnetische Feld beschreiben. Dies können einfache phänomenologische Gesetze wie das Ohmsche Gesetz sein,

$$\mathbf{j}=\hat{\sigma}\mathbf{E},$$ oder erscheinen als Lösungen der Schrödinger-Gleichung und anderer verschiedener relativistischer und nicht-relativistischer Modelle.