Wie wir wissen, ist die Spannungs-Strom-Beziehung einer Induktivität mit zwei Anschlüssen mit konstanter Induktivität:

$v_L(t) = L \, \dfrac{\mathrm di_L(t)}{\mathrm dt} \tag 1$

Ich habe es geschafft, diese Gleichung zu beweisen , ohne die Vorzeichen oder die Polarität und Richtung von Spannung und Strom zu berücksichtigen . In vielen Lehrbüchern zur Schaltungsanalyse und Physik gilt diese Gleichung jedoch für jedes Vorzeichen der Spannung, des Stroms und der Stromänderungsrate, solange die Referenzpolarität der Spannung und die Referenzrichtung des konventionellen Stroms so gewählt werden in der folgenden Abbildung dargestellt .

Abbildung 1. Bezugsrichtung für den Strom und Bezugspolarität für die Spannung in einer Induktivität. Bildquelle: Engineering Circuit Analysis (8. Aufl.) von Hayt, Kemmerly und Durbin.

Ich versuche also zu beweisen, ob Gleichung (1) tatsächlich die Vorzeichen und die Referenzpolarität und Referenzrichtung von Spannung, Strom und Stromänderungsrate berücksichtigt . Wie Sie unten sehen werden, habe ich insbesondere Probleme bei der Bestimmung der Polarität der induzierten EMF oder Spannung (so dass ihr numerischer Wert positiv ist) angesichts des Stroms und seiner Änderungsrate.

Grundlagen

Bevor ich meinen Versuch zeige, werde ich kurz zwei grundlegende Tatsachen erwähnen, die ich verwenden werde: die Rechte-Hand-Regel und die Richtung des induzierten Magnetfelds.

Regel der rechten Hand

Wie wir wissen, gibt es im Elektromagnetismus viele rechte Regeln (für das Lorentzsche Kraftgesetz, für das Ampèresche Gesetz, die Flemmingsche rechte Regel usw.). Die, die ich verwenden werde, ist diejenige, die verwendet wird, um die Richtung des Magnetfelds zu bestimmen, das durch einen positiven konventionellen Strom durch einen zylindrischen Induktor / Solenoid / Spule induziert wird, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Abbildung 2. Die Rechte-Hand-Regel Nr. 1: für das Magnetfeld, das durch einen positiven konventionellen Strom in einem zylindrischen Induktor induziert wird. Bildquelle: link .

Die vorherige Regel kann verwendet werden, um die Richtung des Magnetfelds zu bestimmen, wenn die Richtung des Stroms gegeben ist, oder umgekehrt.

Änderung des Magnetfeldes und der Richtung des induzierten Magnetfeldes

Wie wir wissen, basiert das Faradaysche Gesetz auf der Änderung des magnetischen Flusses/Feldes, und das Gesetz von Lenz besagt, dass die induzierte EMF so sein wird, dass sie der Änderung des magnetischen Flusses/Feldes entgegenwirkt, oder mit anderen Worten, das induzierte Magnetfeld ist die Negativ der Änderung des ursprünglichen Magnetfeldes. Die Änderung einer Menge wird als Endwert minus Anfangswert definiert. Und um den Unterschied zu finden$\mathbf u − \mathbf v$von zwei Vektoren geometrisch finden wir zuerst das Negative$− \mathbf v$des zweiten Vektors$\mathbf v$, und bewege ihn dann so, dass sich sein Schwanz am Kopf des ersten Vektors befindet$\mathbf u$, und dann ist die Differenz der beiden ursprünglichen Vektoren die Summe$\mathbf u + (− \mathbf v)$, das ist der Vektor, dessen Punkte den Schwanz des ersten Vektors bilden$\mathbf u$zum Kopf des Vektors$− \mathbf v$. Mit diesen Fakten können wir die Richtung des induzierten Magnetfelds bestimmen (dasjenige, das dem ursprünglichen Magnetfeld entgegenwirkt), wie unten gezeigt.

Abbildung 3. Lenzsches Gesetz: Richtung des induzierten Magnetfelds aufgrund eines zunehmenden Magnetfelds. Bildquelle: eigene.

Abbildung 4. Lenzsches Gesetz: Richtung des induzierten Magnetfelds aufgrund eines abnehmenden Magnetfelds. Bildquelle: eigene.

Mein Versuch

Wir werden die folgende Notation verwenden:$i(t)$wird der konventionelle Strom durch die Induktivität sein, der durch den externen aktiven Schaltkreis aufgeprägt wird, der mit den Anschlüssen der Induktivität verbunden ist, dessen Richtung und numerisches Vorzeichen als bekannt/gegeben angenommen werden;$\mathbf B(t)$wird das Magnetfeld sein, das durch den Strom erzeugt wird$i$wie durch das Ampère-Gesetz beschrieben, dessen Richtung durch die RHR beschrieben wird (Abbildung 2);$v_\text{ind}(t)$,$i_\text{ind}(t)$Und$\mathbf B_\text{ind}(t)$sind die induzierte Spannung/EMK, der induzierte konventionelle Strom bzw. die induzierten Magnetfelder durch die Änderung des Magnetfelds$\mathbf B$wie durch das Faradaysche Gesetz beschrieben, und deren Polaritäten/Richtungen durch das Lenzsche Gesetz (Abbildungen 3 und 4) und die RHR (Abbildung 2) beschrieben sind;$v_L(t)$Und$i_L(t)$ist die Spannung über und der Strom durch die Induktivität, so dass ihre Referenzpolarität und Referenzrichtung wie in Abbildung 1 gezeigt sind.

Ich denke, viele von uns werden zustimmen, dass eine intuitive Art, über die Reihenfolge nachzudenken, in der die "Ereignisse" auftreten, die folgende ist: die Strömung$i$erzeugt ein wechselndes Magnetfeld$\mathbf B$das induziert eine Spannung$v_\text{ind}$, die einen Strom erzeugt$i_\text{ind}$, die ein Magnetfeld erzeugt$\mathbf B_\text{ind}$. Also gehe ich bei meinem Versuch wie folgt vor: gegeben$i$und seine Änderungsrate finde ich die$\mathbf B$, dann finde ich die Änderung in$\mathbf B$, dann finde ich$\mathbf B_\text{ind}$, dann finde ich$i_\text{ind}$, und dann finde ich$v_\text{ind}$. Wie Sie unten sehen werden, habe ich es geschafft, all diese Mengen zu finden und zu verstehen, warum sie die Richtung hatten, die sie hatten, außer$v_\text{ind}$.

Jetzt erkläre ich meinen Versuch.

Stellen Sie sich einen zylindrischen Induktor mit zwei Anschlüssen und konstanter Induktivität vor. Betrachten wir vier verschiedene Szenarien: Wenn der positive konventionelle Strom in eine Richtung und dann in die andere Richtung fließt, und wenn der positive konventionelle Strom zunimmt und dann abnimmt. Der Induktor ist mit einer externen aktiven Schaltung verbunden, die einen zeitlich veränderlichen Strom erzeugt$i(t)$in jedem der vier Fälle. Wir gehen davon aus, dass ein solcher Strom konventionell ist, positiv ist, wir kennen seine Richtung und wir wissen, ob er zunimmt oder abnimmt. Dies ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Abbildung 5. Bildquelle: eigene.

Da durch die Induktivität Strom fließt, entsteht nach dem Ampèreschen Gesetz ein Magnetfeld$\mathbf B(t)$wird aufgrund dieses Stroms erzeugt$i$, deren Richtung wir bestimmen können, indem wir die RHR (Abbildung 2) auf jeden der vier Fälle anwenden; Dazu nehmen wir an, dass wir den Induktor mit der rechten Hand greifen, sodass unsere Finger in Richtung des Stroms zeigen $i$fließt durch den Induktor, dann zeigt unser Daumen in Richtung des Magnetfeldes $\mathbf B$ innerhalb des Induktors. Wenden Sie diese Regel auf jeden der vier Fälle der vorherigen Abbildung an:

• Wenn wir in den Fällen a) und b) auf den Induktor schauen, wie in der vorherigen Abbildung gezeigt (und nicht etwa von oben oder von unten oder von der Rückseite), sehen wir den Strom$i$fließt von links nach rechts, also fassen wir den Induktor mit der rechten Hand so, dass unsere Finger nach rechts zeigen. Dann zeigt unser Daumen nach oben, das ist also die Richtung des Magnetfelds$\mathbf B$Punkte innerhalb des Induktors.

• In den Fällen c) und d) sehen wir den Strom, wenn wir den Induktor betrachten, wie in der vorherigen Abbildung gezeigt$i$fließt von rechts nach links, also fassen wir den Induktor mit der rechten Hand so, dass unsere Finger nach links zeigen. Dann zeigt unser Daumen nach unten, das ist also die Richtung des Magnetfelds$\mathbf B$Punkte innerhalb des Induktors.

Damit erhalten wir die in der folgenden Abbildung dargestellte Richtung des Magnetfeldes.

Abbildung 6. Bildquelle: eigene.

Denn wir nehmen den Strom an$i$zeitlich veränderlich ist, ist das Magnetfeld$\mathbf B$von ihm erzeugt wird, ist auch zeitlich veränderlich, also der magnetische Fluss$\Phi(t)$ist auch zeitlich veränderlich, also nach dem Faradayschen Gesetz eine EMF$v_\text{ind}(t)$wird über die Induktivität induziert. Um die Polarität einer solchen EMF oder Spannung zu finden, finden wir zuerst die Richtung des Stroms$i_\text{ind}(t)$eine solche EMF zu etablieren versucht, die wir mit Hilfe des Lenzschen Gesetzes bestimmen. Während unser Ziel also darin besteht, die Polarität der induzierten EMF zu finden, finden wir zuerst die Richtung des induzierten Magnetfelds, zweitens die Richtung des induzierten Stroms, der ein solches induziertes Magnetfeld erzeugt hat, und drittens die Polarität des induzierten EMF, das durch das ursprüngliche sich ändernde Magnetfeld erzeugt wird. Zuerst finden wir die Änderung$\mathrm d \mathbf B$im Magnetfeld.

• Im Fall a) zeigt das Magnetfeld innerhalb des Induktors nach oben, und der Strom nimmt zu, sodass auch das Magnetfeld zu den Änderungspunkten nach oben zunimmt (Abbildung 3).

• Im Fall b) zeigt das Magnetfeld innerhalb des Induktors nach oben, und der Strom nimmt ab, sodass auch das Magnetfeld abnimmt, bis zu den Änderungspunkten nach unten (Abbildung 4).

• Im Fall c) zeigt das Magnetfeld innerhalb des Induktors nach unten, und der Strom nimmt zu, sodass auch das Magnetfeld zu den Änderungspunkten nach unten zunimmt (Abbildung 3).

• Im Fall d) zeigt das Magnetfeld innerhalb des Induktors nach unten, und der Strom nimmt ab, sodass auch das Magnetfeld abnimmt, bis zu den Änderungspunkten nach oben (Abbildung 4).

Damit erhalten wir die in der folgenden Abbildung dargestellte Richtung der Magnetfeldänderung.

Abbildung 7. Bildquelle: eigene.

Die Spannung$v_\text{ind}$über dem Induktor gemäß dem Faradayschen Gesetz aufgrund des zeitlich veränderlichen Magnetfelds induziert$\mathbf B$werde versuchen, einen Strom aufzubauen$i_\text{ind}$, die nach dem Ampèreschen Gesetz ein Magnetfeld erzeugen würde$\mathbf B_\text{ind}(t)$deren Richtung nach dem Lenz'schen Gesetz versuchen wird, sich der Änderung zu widersetzen$\mathrm d \mathbf B$im ursprünglichen Magnetfeld$\mathbf B$. Damit$\mathbf B_\text{ind}$ablehnen$\mathbf B$, ersterer muss in die entgegengesetzte Richtung von letzterem zeigen.

• Im Fall a) zeigt die Änderung des ursprünglichen Magnetfeldes nach oben, das induzierte Magnetfeld also nach unten.

• Im Fall b) zeigt die Änderung des ursprünglichen Magnetfeldes nach unten, das induzierte Magnetfeld also nach oben.

• Im Fall c) zeigt die Änderung des ursprünglichen Magnetfeldes nach unten, das induzierte Magnetfeld also nach oben.

• Im Fall d) zeigt die Änderung des ursprünglichen Magnetfeldes nach oben, das induzierte Magnetfeld also nach unten.

Damit erhalten wir die in der folgenden Abbildung dargestellte Richtung des induzierten Magnetfeldes.

Abbildung 8. Bildquelle: eigene.

Zweitens finden wir die Richtung des induzierten Stroms, indem wir die RHR anwenden (Abbildung 2), außer dass wir jetzt, anders als in Abbildung 5, die Richtung des Magnetfelds kennen und die Richtung des Stroms finden möchten . Um diese Regel anzuwenden, nehmen wir an, dass wir den Induktor mit unserer rechten Hand greifen , sodass unser Daumen in Richtung des induzierten Magnetfelds zeigt $\mathbf B_\text{ind}$ im Induktor, dann zeigen unsere Finger in die Richtung des induzierten Stroms $i_\text{ind}$fließt durch den Induktor. Wenden Sie diese Regel auf jeden der vier Fälle der vorherigen Abbildung an:

• Wenn wir in den Fällen a) und d) den Induktor betrachten, wie in der vorherigen Abbildung gezeigt, sehen wir das induzierte Magnetfeld$\mathbf B_\text{ind}$fließt im Inneren des Induktors nach unten, also fassen wir den Induktor mit der rechten Hand so, dass unser Daumen nach unten zeigt. Dann zeigen unsere Finger nach links, das ist also die Richtung des induzierten Stroms$i_\text{ind}$fließt durch den Induktor.

• Wenn wir in den Fällen b) und c) den Induktor betrachten, wie in der vorherigen Abbildung gezeigt, sehen wir das induzierte Magnetfeld$\mathbf B_\text{ind}$fließt im Inneren des Induktors nach oben, also fassen wir den Induktor mit der rechten Hand so, dass unser Daumen nach oben zeigt. Dann zeigen unsere Finger nach rechts, das ist also die Richtung des induzierten Stroms$i_\text{ind}$fließt durch den Induktor.

Damit erhalten wir die in der folgenden Abbildung dargestellte Richtung des induzierten Stroms.

Abbildung 9. Bildquelle: eigene.

So weit, ist es gut; Ich habe keine Zweifel. Der einzige Schritt, der fehlt, ist, die Polarität der induzierten Spannung zu finden$v_\text{ind}$. Ich weiß nicht wie ich das machen soll, hier stecke ich fest .

Allerdings ist mir etwas aufgefallen/beobachtet. Es sieht so aus, als müssten wir die Referenzpolarität von zuweisen$v_\text{ind}$so dass der induzierte Strom$i_\text{ind}$fließt von höherem Potential (der mit „$+$” Zeichen von$v_\text{ind}$) auf niedrigeres Potential (die mit „$-$” Zeichen von$v_\text{ind}$) durch den externen aktiven Stromkreis . (Äquivalent dazu der induzierte Strom$i_\text{ind}$fließt von niedrigerem Potential [dem mit „$-$” Zeichen von$v_\text{ind}$] auf höheres Potential [die mit „$+$” Zeichen von$v_\text{ind}$] durch den Induktor .) Aber ich weiß nicht, warum es richtig ist, und ich würde es gerne wissen .

Sie fragen sich vielleicht, warum ich sicher bin, dass meine obige Beobachtung richtig ist. Der Grund dafür ist, dass, wenn wir davon ausgehen, dass es richtig ist, dann, wie ich unten zeigen werde, Gleichung (1) tatsächlich das Vorzeichen von berücksichtigt$v$und das Vorzeichen der Änderungsrate von$i$.

Nehmen wir also an, die obige Beobachtung ist richtig. Dann, in der vorherigen Abbildung:

• In den Fällen a) und d) der induzierte Strom$i_\text{ind}$fließt in den aktiven Stromkreis durch den oberen Anschluss, also die induzierte Spannung$i_\text{ind}$hat die positive Bezugspolarität am oberen Anschluss.

• In den Fällen b) und c) der induzierte Strom$i_\text{ind}$fließt aus dem aktiven Stromkreis durch den oberen Anschluss, fließt sie in den aktiven Stromkreis durch den unteren Anschluss, also die induzierte Spannung$i_\text{ind}$hat die positive Bezugspolarität am unteren Anschluss.

Auf diese Weise erhalten wir die in der folgenden Abbildung gezeigte Polarität der induzierten Spannung.

Abbildung 10. Bildquelle: eigene.

Jetzt haben wir die Polarität der induzierten Spannung erhalten$v_\text{ind}$(so dass sein numerischer Wert positiv ist) und wir kennen die Richtung des Stroms$i$(so dass sein numerischer Wert positiv ist) sowie das Vorzeichen der Änderungsrate von$i$, entfernen wir die irrelevanten Details in der vorherigen Abbildung (Magnetfelder, induzierter Strom). Ändern wir auch die Referenzrichtung des Stroms (die auch ihr Vorzeichen ändert) und die Referenzpolarität der Spannung (die auch ihr Vorzeichen ändert) so, dass die Referenzrichtung des Stroms immer auf die Induktivität im oberen Anschluss und so zeigt dass die Bezugspolarität der Spannung am oberen Anschluss positiv ist. Damit erhalten wir folgende Abbildung.

Abbildung 11. Bildquelle: eigene.

Beachten Sie, dass jeder Fall der vorherigen Abbildung die Referenzrichtung für den Strom und die Referenzpolarität für die Spannung hat, so dass die Pfeilspitze in den Induktor zum positiven Referenzanschluss zeigt. Mit anderen Worten, die vier Fälle erfüllen die in Abbildung 1 gezeigte Referenzrichtung und Referenzpolarität.

• Im Fall a) ,$i_L(t) = i(t)$Und$v_L = v_\text{ind}(t)$.

• Im Fall b) ,$i_L(t) = i(t)$Und$v_L = -v_\text{ind}(t)$.

• Im Fall c) ,$i_L(t) = -i(t)$Und$v_L = -v_\text{ind}(t)$.

• Im Fall d) ,$i_L(t) = -i(t)$Und$v_L = v_\text{ind}(t)$.

Damit erhalten wir folgende Abbildung.

Abbildung 12. Bildquelle: eigene.

Schließlich aus Gleichung (1) , da$L$immer ein positiver Parameter ist, hängt das Vorzeichen der rechten Seite nur von (und ist gleich) dem Vorzeichen von ab$\mathrm di_L/ \mathrm dt$. Diese Gleichung erfordert dies also$v_L$muss dasselbe Vorzeichen haben wie$\mathrm di_L/ \mathrm dt$. Mal sehen, ob dies in jedem Fall der vorherigen Abbildung entspricht:

• Im Fall a) ,$\mathrm di_L(t)/\mathrm dt > 0$Und$v_L > 0$.

• Im Fall b) ,$\mathrm di_L(t)/\mathrm dt < 0$Und$v_L < 0$.

• Im Fall c) ,$\mathrm di_L(t)/\mathrm dt > 0$Und$v_L < 0$.

• Im Fall d) ,$\mathrm di_L(t)/\mathrm dt < 0$Und$v_L > 0$.

Beachten Sie in der Tat$v_L$Und$\mathrm di_L(t)/\mathrm dt$haben in jedem Fall das gleiche Vorzeichen. Daher die Gleichung$v_L(t) = L \, \mathrm di_L(t)/ \mathrm dt$in der Tat berücksichtigt die Vorzeichen von$v_L$,$i_L$Und$\mathrm di_L/ \mathrm dt$, lieferte die Referenzrichtung für$i_L$und die Bezugspolarität für$v_L$werden wie in Abbildung 1 gezeigt gewählt.

Beachten Sie übrigens in Abbildung 10, dass eine andere Möglichkeit, meine Frage zu formulieren, lautet: Warum funktioniert der Strom$i$fließt es von höherem Potential zu niedrigerem Potential durch die Induktivität , wenn es ansteigt (Fälle a) und c) ), und warum fließt es von niedrigerem Potential zu höherem Potential durch die Induktivität , wenn es abnimmt (Fälle b) und d) )?

Ich habe diese Frage gefunden , die im Wesentlichen mit meiner übereinstimmt. Der Benutzer Farcher erklärte in seiner Antwort, wie man die Richtung erhält$i_\text{ind}$(so dass sein numerischer Wert positiv wäre). Sie nahmen einen ansteigenden (und positiv) ansteigenden Strom an$i$, und bekam das gleiche Ergebnis wie ich (Abbildung 10, Fälle a) und c) ), nämlich dass der Strom$i$fließt innerhalb des Induktors von positiv nach negativ. Beim Erhalt der Polarität von$v_\text{ind}$(so dass sein numerischer Wert positiv ist), sagten sie in den Kommentaren den induzierten Strom$i_\text{ind}$fließt von negativ nach positiv innerhalb der Induktivität, ob der Strom$i$nimmt zu oder ab, was meinem Ergebnis entspricht.

Ihre Erklärung für die Polarität der induzierten Spannung basierte auf einer Analogie mit einer Batterie: Innerhalb einer Batterie fließt Strom von Minus nach Plus. Dies gilt jedoch nur, wenn die Batterie Energie an den Stromkreis liefert (sie wurde entladen/abgeschaltet), es gilt nicht, wenn die Batterie Energie aus dem Stromkreis verbraucht (sie wurde aufgeladen/wieder mit Strom versorgt), in diesem Fall fließt Strom von Plus nach Minus innerhalb der Batterie. Während im Fall des Induktors in den Fällen a) und c) der Induktor Energie verbraucht/speichert (und$i_\text{ind}$fließt innerhalb des Induktors von Minus nach Plus, wie aus dem Vergleich mit der Batterie zu erwarten ist), aber in den Fällen b) und d) liefert/gibt der Induktor Energie ab (und doch$i_\text{ind}$Stills fließt im Induktor von Minus nach Plus, anders als in der Batterie). Ich bin also nicht zufrieden / überzeugt von Farchers Argumentation.