Wie kommt es, dass Gruppen- und Phasengeschwindigkeit in einem nicht-dispersiven Medium unterschiedlich sein können?

Kurz gesagt, ich denke, die Behauptung im Wikipedia-Beispiel muss falsch sein.

Die Phasengeschwindigkeit ist per Definition$v_p = \frac{\omega_p (k)}{k}$.

Die Gruppengeschwindigkeit ist per Definition$v_g = \frac{d \omega_p (k)}{dk}$.

In seinem Buch Wave Propagation and Group Velocity (1960) definiert Léon Brillouin ein dispersives Medium gleich im ersten Kapitel wie folgt:

Ein Medium mit einer Wellengeschwindigkeit W(k) wird als dispersives Medium bezeichnet

Er verwendet das Symbol$W(k)$für die Phasengeschwindigkeit, also sagt er, dass die Phasengeschwindigkeit, die sich mit der Frequenz ändert, auf ein dispersives Medium hinweist. Ansonsten ist das Medium nicht dispersiv.

In einem nichtdispersiven Medium eindeutig die Phasengeschwindigkeit$v_p$ist konstant, und das zwingt$v_g = \frac{d \omega_p (k)}{dk} = v_p$.

Ich zitiere Brillouins Buch als maßgebliche Quelle, aber ich kann viele andere Suchergebnisse bei Google sehen (z. B. Quora, Harvard-Physikklasse usw.), die dieselbe Definition eines nicht-dispersiven Mediums verwenden und daher schlussfolgern$v_p = v_g$.

NB: Ich habe Brillouins Buch nicht im Detail gelesen, aber ich habe von dem Buch erfahren, als ich einen Kurs in Nanophotonik belegte, und der Dozent stellte es als Referenz vor, die viele Verwirrungen bezüglich der Definition der Energiedichte in dispersiven Medien klärt. Anscheinend gab es vor vielen Jahren eine Flut von Artikeln, in denen der superluminale Transport in nanophotonischen Strukturen behauptet wurde, aber sie hatten alle mit falschen Vorstellungen von Energiedichte in dispersiven Medien zu tun, während Brillouin bereits 1960 festlegte, was es ist.

Im Wesentlichen wird die Antwort hier mehr oder weniger abgeleitet:

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_velocity#Derivation

Die Phasengeschwindigkeit trägt nirgendwo innerhalb des Integrals bei, sie liegt außerhalb des Integrals. Innerhalb des Integrals befindet sich nur die Omega-Primzahl (dh die Gruppengeschwindigkeit).

Die obige Ableitung zeigt, dass die Gruppengeschwindigkeit ($\omega_0^\prime$) und Phasengeschwindigkeit ($\omega_0$) sind entkoppelt, und beide sind an die Hüllkurve bzw. den Träger gebunden und letzterer ist monochromatisch. Obwohl wir also ein "dispersives" Medium haben, weil "die Phasengeschwindigkeit von der Frequenz abhängt", gibt es nur eine Frequenz, die davon betroffen ist (die monochromatische, zentrale Frequenz)

Tatsächlich kann man das zeigen, wenn man die Taylor-Expension von einschränkt$\omega$In erster Ordnung, Linearisierung genannt, wie im Wiki, ist es unmöglich, eine Paketverzerrung zu erklären, da sowohl die Terme nullter als auch erster Ordnung konstant sind und sie die Phasen- bzw. Gruppengeschwindigkeit definieren. Durch Linearisieren „erzwingen“ wir also eine Konstante der Gruppengeschwindigkeit, was gleichbedeutend mit der Aussage ist, dass sich das Paket unverzerrt fortbewegt. Man muss die Erweiterung auf mindestens die zweite Ordnung bringen, um die Paketverzerrung mathematisch zu erklären.

Wenn man diese Erweiterung zweiter Ordnung wirklich durchführt, stellt sich außerdem heraus, dass der Fall eines Gaußschen Pulses besonders ist: Der Term zweiter Ordnung beeinflusst nur die Varianz des Pulses, die mit der Zeit größer wird. Je höher folglich der Term zweiter Ordnung ist, desto höher wird die Gaußsche Impulsdispersion sein. Aber wenn der Term zweiter Ordnung Null ist, dann bewegt sich der Gaußsche Impuls frei, obwohl die nullte Ordnung (Phasengeschwindigkeit) eine Funktion der Frequenz über die Dispersionsbeziehung ist, weil wiederum nur eine Frequenz „beeinflusst“ wird. durch diese Dispersionsrelation.

Im Wiki-Bild ist die Dispersionsformel$\omega = c\cdot k + \alpha$Wo$\alpha$ist eine Konstante. (Hinweis: Der Wiki-Autor stellt Links zu einem sehr schönen Jupyter-Notebook zur Verfügung, das dabei helfen kann, die Animation zu reproduzieren und zu sehen, was die Dispersionsformel ist ($\alpha=4$in seinem Notizbuch))

Die Konsequenz daraus ist, dass wenn man es einmal herleitet (bzgl$k$), erhalten Sie die Gruppengeschwindigkeit$c$, aber wenn Sie es ein zweites Mal ableiten, ist es Null, daher ist der Term zweiter Ordnung Null, und dies ist ein weiterer (notwendiger) Grund dafür, warum der Gaußsche Impuls unverzerrt wandert .

Sie können versuchen, die Dispersionsrelation zweiter Ordnung zu machen, indem Sie zB verwenden

def dr(k):
    return pow(k, 2.) + 4

im jupyter notebook und sie sehen die impulsform verzerrt.

[unten ist eine vorläufige visuelle Interpretation, um ein Gefühl dafür zu bekommen, warum eine lineare Dispersionsbeziehung mit einem konstanten Term Wellenpakete nicht wirklich beeinflusst]

Ein wichtiger Punkt ist, dass bei einer Dispersionsrelation erster Ordnung wie der hier verwendeten die Konstante$\alpha$verschiebt lediglich das Spektrum im Fourier-Raum. Um es mit einer "visuellen Interpretation" zu veranschaulichen: Die Tatsache, dass die Summe monochromatischer Wellen ein schönes Paket mit konstanter Form "bildet", ergibt sich aus der Tatsache, dass eine Welle mit höherer Frequenz eine höhere Wellenzahl hat$k$als eine mit niedrigerer Häufigkeit, und dass ihre Beziehung ein konstanter Faktor ist ($c$). Da es konstant ist, bleiben alle ihre „Interferenzen“ gleich. Für ein bestimmtes Zeitintervall „bewegen“ sich alle Wellen (unabhängig von ihrer Frequenz) um ihre Wellenzahl proportional zu einer bestimmten Geschwindigkeit ($c$Hier). Das Hinzufügen einer Konstante zur Dipersionsformel ändert daran nichts: Es verschiebt einfach den Ursprung, aber für ein bestimmtes Zeitintervall bewegen sich alle Wellen auf die gleiche Weise wie ohne die Konstante. Nur nichtlineare Beziehungen verzerren das Signal. In der Tat, wenn es eine quadratische Abhängigkeit gibt ($k^2$) in der Dispersionsrelation „bewegen“ sich nun in einem gegebenen Zeitintervall höherfrequente Wellen um ihre Wellenzahl mal ihre Wellenzahl mal einer gewissen Geschwindigkeit ($c$hier), so dass sich Unterpakete unterschiedlicher Frequenz mit unterschiedlicher Geschwindigkeit „bewegen“ und somit das Paket verzerren.

Zusammenfassend ist ein monochromatisch modulierter Gaußscher Impuls mit einer Dispersionsbeziehung nur erster Ordnung eine Art Sonderfall, in dem Sie technisch gesehen eine (Phasen-) Dispersion, aber keine (Gruppen-) Verzerrung haben.