Wie berechnet man die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit einer Überlagerung von Sinuswellen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit und Wellenlänge?

Question

Wie berechnet man die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit einer Überlagerung von Sinuswellen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit und Wellenlänge?

Wellen
Physik
Geschwindigkeit
Überlagerung
Phasengeschwindigkeit

Tachyon209

Dies mag wie eine triviale Frage erscheinen, aber es ist nicht für mich. Ich habe also von AP French über Gruppen- und Phasengeschwindigkeiten gelesen, wo er die Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten für eine Überlagerung von Sinuswellen unterschiedlicher Geschwindigkeit und Wellenlänge berechnet. Ich schreibe eine kurze Analyse:

j (X, T) = A Sünde (k_{1} X - ω_{1} T) + A Sünde (k_{2} X - ω_{2} T)

$y(x,t)=A\sin(k_1x-\omega_1t) + A\sin(k_2x-\omega_2t)$ was vereinfacht zu

j (X, T) = 2 A Sünde (\frac{k_{1} + k_{2}}{2} X - \frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} T) \cos (\frac{k_{1} - k_{2}}{2} X - \frac{ω_{1} - ω_{2}}{2} T)

$y(x,t)=2A\sin\left(\frac{k_1+k_2}{2}x-\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)\cos\left(\frac{k_1-k_2}{2}x-\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)$

Nun, was ich normalerweise in der Literatur finde, ist, dass für eine allgemeine Welle die Geschwindigkeit einer Welle definiert ist als $v=\omega/k$ und hier sehen wir, dass wir durch Vereinfachung der Superposition einen sich langsam bewegenden und einen sich schnell bewegenden Term und erhalten

(1) Für die sich langsam bewegende Welle, die die Gruppenhüllkurve darstellt, nennen wir die Geschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit $v_g=\Delta \omega/\Delta k=\partial\omega/\partial k$ (für Wellen mit kleinen Unterschieden in $\omega$ Und $k$ ).

(2) Für die sich schnell bewegende Welle, die die Wellen darstellt, nennen wir die Geschwindigkeit Phasengeschwindigkeit $v_g=\bar \omega/\bar k=\omega/ k$ (Wenn $\omega$ ist als Funktion von gegeben $k$ ).

Was ich an dieser Analyse nicht verstehe, ist

Warum diese Definition von Geschwindigkeit? Warum haben wir einfach die Faktoren von x und t dividiert und das als Geschwindigkeit bezeichnet? Für eine einzelne Sinuswelle verstehe ich, wie wir die Verschiebung eines Maximums oder Minima finden und sehen können, wie viel es sich in einer bestimmten Zeit t bewegt, und dies als Geschwindigkeit definieren (genau wie hier erwähnt ) . Aber gibt es dafür eine ähnliche Behandlung?
Wie haben wir identifiziert, welches die Gruppe und welches die Phasengeschwindigkeit war? Außerdem ist es für eine Person, die das vorher nicht wusste, auf den ersten Blick nicht sehr intuitiv, dass in einer solchen Lösung tatsächlich 2 Geschwindigkeiten enthalten sind?

Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand vielleicht eine Antwort auf diese Fragen hätte.

Antworten (3)

Wie berechnet man die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit einer Überlagerung von Sinuswellen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit und Wellenlänge?

Färcher · Answer 1

Die beiden oberen Diagramme der Website MakeaGIF.com beziehen sich auf Wellen einer Frequenz/Wellenlänge, die sich mit unterschiedlicher Phasengeschwindigkeit ausbreiten, wie durch die Bewegung des roten und blauen Punkts auf einem Kamm gezeigt wird.
Der Begriff Phase wird verwendet, weil Sie die Partikel, aus denen das Medium besteht, bei ihrer maximalen Aufwärtsbewegung von der Gleichgewichtsposition beobachten und die Geschwindigkeit dieses Gipfels als die von einem Gipfel zurückgelegte Entfernung geteilt durch die Zeit, die zum Bewegen dieser Entfernung benötigt wird, gemessen wird.
Sie hätten sich genauso gut dafür entscheiden können, einem Tal zu folgen oder wenn die Partikel eine Verschiebung von Null oder die Phase hatten $kx-\omega t = \text{constant}$ .
Die Differenzierung dieses Ausdrucks ergibt die Phasengeschwindigkeit als $\left (\dfrac{dx}{dt}\right)_{\rm phase} = \dfrac \omega k$

Das untere Diagramm ist die Addition der beiden oberen Diagramme, und Sie werden feststellen, dass sich eine modulierende Hüllkurve, deren Spitze, wie durch den roten Punkt dargestellt, mit der Gruppengeschwindigkeit bewegt, wobei Gruppe sich auf die Bewegung einer Anzahl (Gruppe) von Wellen bezieht, die zusammengefügt werden Und $\left (\dfrac{dx}{dt}\right)_{\rm group} = \dfrac {\Delta\omega} {\Delta k}$ .
Dies wird vom französischen Kosinusterm abgeleitet, wobei der Term in der Klammer ein Maximum sein soll $\omega = \omega_1-\omega_2$ Und $\Delta k = k_1- k_2$ und folgen Sie der Bewegung dieses Maximums.

Die folgenden GIF-Animationen des Instituts für Schall- und Schwingungsforschung (isvr) helfen Ihnen hoffentlich dabei, zwischen Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit zu unterscheiden.

Sehr schön. Sie könnten etwas weiter gehen und angeben, was die Gruppengeschwindigkeit in dem speziellen Beispiel des OP ist

Neuer Benutzer · Answer 2

Der Weg, um die Geschwindigkeit zu erhalten, ist genau derselbe wie in dem von Ihnen geteilten Link angegeben, mit einigen Neuinterpretationen. Für den Fall einer einzelnen, wandernden Sinuswelle haben wir die Bedingung gefordert, dass die Phase konstant bleibt, also

k X - ω T = Konstante

$kx-\omega t=\text{constant}$ Dies impliziert das

k \frac{D X}{D T} - ω = 0

$k\frac{dx}{dt}-\omega=0$ was uns die Wellengeschwindigkeit gibt Hier gehen wir von der Gleichung aus,

j (X, T) = 2 A Sünde (\frac{k_{1} + k_{2}}{2} X - \frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} T) cos (\frac{k_{1} - k_{2}}{2} X - \frac{ω_{1} - ω_{2}}{2} T)

$y(x,t)=2\text{A }\text{sin}\bigg(\frac{k_1+k_2}{2}x-\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t \bigg)\text{cos}\bigg(\frac{k_1-k_2}{2}x-\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t \bigg)$ Wir können uns das auf zwei Arten vorstellen,

j (X, T) = C_{1} (X, T) cos (\frac{k_{1} - k_{2}}{2} X - \frac{ω_{1} - ω_{2}}{2} T)

$y(x,t)=\text{C}_1(x,t)\text{ }\text{cos}\bigg(\frac{k_1-k_2}{2}x-\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t \bigg)$ das ist die Gleichung einer Wanderwelle mit Kreisfrequenz

(ω_{1} - ω_{2}) / 2

$(\omega_1-\omega_2)/2$ und Wellenzahl

(k_{1} - k_{2}) / 2

$(k_1-k_2)/2$ deren Amplitude, anstatt konstant zu sein, eine Funktion von Raum und Zeit ist (zum Vergleich, denken Sie daran, dass etwas Ähnliches im Fall von Bloch-Funktionen passiert). In dieser Form beschreibt die Gleichung die Dynamik der Hüllkurve und absorbiert die Effekte der Wellen innerhalb der Hüllkurve in der Modulation der Amplitude. Wenn wir nun die gleiche Bedingung wie zuvor anwenden, erhalten wir die Geschwindigkeit der Hüllkurve zu

v_{G} = \frac{ω_{1} - ω_{2}}{k_{1} - k_{2}}

$v_g=\frac{\omega_1-\omega_2}{k_1-k_2}$ und wir nennen dies die Gruppengeschwindigkeit. In ähnlicher Weise könnten wir die Dynamik der einzelnen Wellen berücksichtigen, während wir die Hüllkurve als Amplitudenmodulation behandeln. In diesem Fall arbeiten wir mit

j (X, T) = C_{2} (X, T) cos (\frac{k_{1} + k_{2}}{2} X - \frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} T)

$y(x,t)=\text{C}_2(x,t)\text{ }\text{cos}\bigg(\frac{k_1+k_2}{2}x-\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t \bigg)$ und die Anwendung der Bedingung, dass die Phase konstant ist, gibt uns die Geschwindigkeit der Wellen, die wir die Phasengeschwindigkeit nennen,

v_{P} = \frac{ω_{1} + ω_{2}}{k_{1} + k_{2}}

$v_p=\frac{\omega_1+\omega_2}{k_1+k_2}$ Diese Art der Trennung von langsamen und schnellen Freiheitsgraden ist in der gesamten Physik allgegenwärtig.

Eines der Dinge, die mich verwirren, ist zunächst einmal, was meinst du damit, dass die Phase konstant bleibt? Was ist Phase? Und warum ist es konstant?
Stellen Sie sich vor, Sie blicken an einem bestimmten Punkt auf die Welle $(x_0,t_0)$ . Wenn Sie sich genau mit der Geschwindigkeit der Welle bewegen würden (nennen wir das $v$ ), dann die Welle am Punkt $(x_0+v\delta t, t_0+\delta t)$ sollte mit Ihrer vorherigen Beobachtung übereinstimmen. Sie bewegen sich genau dann mit der Geschwindigkeit der Welle, wenn die Welle in Ihrem Bezugssystem ruht.
Die Phase ist das Argument, das in der Sinus- oder Kosinusfunktion erscheint, die eine einzelne Wanderwelle beschreibt. Da kann die Phase definiert werden $c(x−vt)$ , wobei c eine Konstante ist (aus der allgemeinen Form der Lösung der Wellengleichung), sagen wir, dass die Phase zeitlich konstant sein muss, wenn wir uns mit der Geschwindigkeit der Welle bewegen.
@Newuser ein Tippfehler in deiner vorletzten Gleichung? (ich schätze du meintest was anderes)

Neoh · Answer 3

Die Phasengeschwindigkeit ist nur die Geschwindigkeit einer ebenen Welle im üblichen Sinne: $v_p=\omega/k=v$ . Die Gruppengeschwindigkeit mit Definition

\begin{matrix} (1) & v_{G} = {\frac{\partial ω}{\partial k} |}_{k = k_{0}} \end{matrix}

$v_g=\left.\frac{\partial \omega}{\partial k}\right|_{k=k_0}\tag{1}$ , leitet sich ursprünglich von der Annahme eines Wanderwellenpakets ab (siehe diese Wikipedia für Details. Im Folgenden werden ähnliche Anmerkungen und Symbole wie im Artikel verwendet) mit einem mittleren Impulswert von

k_{0}

$k_0$ . In diesem Artikel wird die Wellenpaketfunktion in Raum und Zeit geschrieben als

\begin{aligned} (2) & a (X, T) = \int D k A (k) e^{ich (k X - ω T)} \end{aligned}

$\begin{align} \alpha(x,t)=\int dkA(k)e^{i(kx-\omega t)}\tag{2} \end{align}$ Beachten Sie, dass das Integral hier die Überlagerung einer unendlichen Anzahl von komplexwertigen wandernden ebenen Wellen bedeutet

e^{i (k x - ω t)}

$e^{i(kx-\omega t)}$ , Ihre Frage wird hier mit Überlagerung von nur zwei Wellenzahlen gestellt

k_{1}

$k_1$ Und

k_{2}

$k_2$ ist nur ein Sonderfall. Sie können (2) umschreiben als

\begin{aligned} (3) & a (X, T) = e^{ich (k_{0} X - ω_{0} T)} \int D k A (k) e^{ich (k - k_{0}) (X - ω_{0}^{'} T)} \end{aligned}

$\begin{align} \alpha(x,t)=e^{i(k_0x-\omega_0 t)}\int dkA(k)e^{i(k-k_0)(x-\omega'_0 t)}\tag{3} \end{align}$ wobei Taylorentwicklung nach erster Ordnung

ω \approx ω_{0} + (k - k_{0}) ω_{0}^{'}

$\omega\approx \omega_0+(k-k_0)\omega'_0$ wird eingesetzt. Der Hauptunterschied zwischen den beiden Integranden in (2) und (3) besteht darin, dass alle Komponenten des Exponentialterms im Integral von (3) die gleiche "Phasengeschwindigkeit" von haben

\frac{(k - k_{0}) ω_{0}^{'}}{(k - k_{0})} = ω_{0}^{'}

$\frac{(k-k_0)\omega'_0}{(k-k_0)}=\omega'_0$ , unabhängig von der Integrationsvariablen

k

$k$ . Sie wird daher als Gruppengeschwindigkeit der Wellenpakethüllkurve bezeichnet.

Zurück zu Ihrer Frage: Wie kann man identifizieren, welcher Begriff der Phasengeschwindigkeit oder der Gruppengeschwindigkeit entspricht? Für den einfachen Fall der Addition zweier ebener Wellen mit Konstante $k$ Und $\omega$ , die hervorragende Visualisierung aus der anderen Antwort zeigt, dass die Welle, die wir "Hülle" nennen, eine längere Wellenlänge haben muss als die "inneren" Wellen. Seit $k=2\pi/\lambda$ , können wir schließen, dass der Kosinusterm mit kleinerer Wellenzahl ( $\frac{k_1-k_2}{2}$ im Gegensatz zu $\frac{k_1+k_2}{2}$ ) entspricht der Gruppengeschwindigkeit der Wellenhülle. Wenn wir anerkennen, dass (1) richtig ist, können wir auch sehen, dass die "Phasengeschwindigkeit" des Kosinusterms mit der Definition der Gruppengeschwindigkeit der Wellenhüllkurve übereinstimmt:

\frac{(ω_{1} - ω_{2}) / 2}{(k_{1} - k_{2}) / 2} = \frac{(ω_{1} - ω_{2})}{(k_{1} - k_{2})} = \frac{\partial ω}{\partial k}

$\begin{equation} \frac{(\omega_1-\omega_2)/2}{(k_1-k_2)/2}=\frac{(\omega_1-\omega_2)}{(k_1-k_2)}=\frac{\partial \omega}{\partial k} \end{equation}$ . Letzteres folgt direkt, weil alle

k_{1}, k_{2}, ω_{1}, ω_{2}

$k_1,k_2,\omega_1,\omega_2$ sind in Ihrem Beispiel konstant.

Wie berechnet man die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit einer Überlagerung von Sinuswellen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit und Wellenlänge?

Tachyon209

Antworten (3)

Färcher

lcv

Färcher

Neuer Benutzer

Tachyon209

Neuer Benutzer

Neuer Benutzer

lcv

Neuer Benutzer

Neoh

Was bedeutet die Geschwindigkeit einer Welle?

Sind diese Definitionen für die Transversalwellengeschwindigkeit auf einer Saite konsistent?

Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit der Materiewelle?

Gruppengeschwindigkeit verstehen

Wie findet man die Geschwindigkeitsfunktion einer mechanischen Welle?

Ableitung der Gruppengeschwindigkeit

Überlagerter Zustand vs. Null-Amplituden-Zustand

Warum hören wir das Quadrat der Welle?

Was passiert mit der Energie, wenn sich Wellen perfekt aufheben?

Warum stoppt destruktive Interferenz eine Welle nicht?