Mit einer Dauerwelle können Sie kein Signal übertragen. Damit ein Signal übertragen werden kann, benötigt man eine Modulation der Welle, zB Amplitudenmodulation. Um beispielsweise akustische Frequenzen (Sprache) zu übertragen, modulieren Sie die hochfrequente elektromagnetische Trägerwelle (in der Größenordnung von MHz für Mittelwellensender) mit den akustischen Frequenzen (bis zu 20 kHz). Diese Modulation erzeugt kleine Schwankungen, sogenannte Seitenbänder (plus und minus 20 kHz) in den übertragenen Wellen. Die Gruppengeschwindigkeit einer Welle beschreibt die Geschwindigkeit, mit der sich eine solche Modulation der Trägeramplitude ausbreitet, die das Signal überträgt. Im freien Raum ist die Gruppengeschwindigkeit einer EM-Welle identisch mit der Phasengeschwindigkeit$c$weil die Streuung linear ist$\omega=c k$. Somit breitet sich auch eine pulsförmige Modulation unverändert aus. Auf Übertragungsleitungen kann es zu erheblichen nichtlinearen Dispersionen, dh der Phasengeschwindigkeit, kommen$v_{ph}= \frac {\omega}{k}$für verschiedene Frequenzen ist nicht konstant und im Allgemeinen von der Gruppengeschwindigkeit verschieden$v_{gr}=\frac {\partial \omega}{\partial k}$. Dies führt zu einem Formverlust einer pulsartigen Modulation der Trägerwelle. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer solchen Pulsmodulation kann aber immer noch aus der Gruppengeschwindigkeit gewonnen werden.

Dass die Gruppengeschwindigkeit der Phasengeschwindigkeit entgegengesetzt ist, kommt nur in Systemen mit speziellen nichtlinearen Dispersionsverhältnissen vor.

Folgendes stammt aus der Einleitung zu dieser Frage:
https://physics.stackexchange.com/a/381974/59023

Hintergrund
Lassen Sie uns einige relevante Parameter definieren:

• Wellennummer $\equiv$ $\mathbf{k} = \mathbf{k}\left( \omega, \mathbf{x}, t \right)$ist effektiv die Anzahl der Wellenberge pro Längeneinheit, was einer Wellendichte ähnlich ist ;
• Wellenfrequenz $\equiv$ $\omega = \omega\left( \mathbf{k}, \mathbf{x}, t \right)$ist effektiv die Anzahl der sich kreuzenden Wellenberge$\mathbf{x}$pro Zeiteinheit, was einem Wellenfluss gleicht ;
• Wellenphase $\equiv$ $\phi = \phi\left( \mathbf{x}, t \right) = \mathbf{k}\left( \omega, \mathbf{x}, t \right) \cdot \mathbf{x} - \omega\left( \mathbf{k}, \mathbf{x}, t \right) \ t + \phi_{o}$ist die Position auf einem Wellenzyklus zwischen einem Kamm und einem Tal;
• Wellenamplitude $\equiv$ $A = A\left( \mathbf{k}, \omega, \mathbf{x}, t \right)$ist die Hälfte des Abstands zwischen Berg und Tal für eine symmetrische, lineare Welle (obwohl in den meisten Fällen$A$ist eine Konstante).

Aus diesen Definitionen können wir ersehen, dass die Wellenzahl und Frequenz wie folgt definiert sind:

Die Phasengeschwindigkeit ,$V_{ph} \hat{\mathbf{k}}$, ist nicht nur$\omega/k$, es ist eigentlich der reelle Teil dieses Verhältnisses, oder$\Re\left[\omega/k\right]$, da sowohl die Frequenz als auch die Wellenzahl im Allgemeinen komplex sein können. Beachten Sie, dass diese Geschwindigkeit kein echter Geschwindigkeitsvektor ist, da der Vektor tatsächlich davon abgeleitet ist$\mathbf{k}$.

In ähnlicher Weise ist die Gruppengeschwindigkeit definiert als:

Wie die obigen Definitionen nahelegen, kann man die Wellenfrequenz und Wellenzahl in Form einer Kontinuitätsgleichung schreiben , die gegeben ist durch:

Eine andere Möglichkeit, die Gruppengeschwindigkeit auszudrücken, ist, dass ... sich verschiedene k mit der Geschwindigkeit ausbreiten$\mathbf{V}_{g}$... [Seite 376 von Whitham , 1999] oder$\mathbf{V}_{g}$ist ... die Ausbreitungsgeschwindigkeit für k ... [Seite 380 von Whitham , 1999]. So lange wie$\mathbf{V}_{g} \neq 0$, dann kann man das zeigen$\lvert A \rvert^{2}$breitet sich mit Geschwindigkeit aus$\mathbf{V}_{g}$. Somit wird die Wellenenergie ohne Massentransport und Dissipation transportiert$\mathbf{V}_{g}$[ Whitham , 1999].

Antworten

In welchen Situationen kann die gezeigte Grafik eine physische Sache beschreiben? Welche Art von Wellen haben diese Eigenschaft und warum ist sie nützlich?

Ein Beispiel sind elektromagnetische Pfeifwellen im Sonnenwind . Ihre Gruppengeschwindigkeit kann ihre Phasengeschwindigkeit um bis zu einem Faktor zwei übersteigen. Dies ermöglicht das Szenario, in dem die Phasengeschwindigkeit kleiner als die Sonnenwindgeschwindigkeit ist, aber die Gruppengeschwindigkeit größer ist. Somit kann die Welle Energie/Impuls gegen den Sonnenwindstrom tragen, aber die Phase der Welle in einem Beobachtungs-/stationären Rahmen wird umgekehrt (z. B. umgekehrte Polarisation).

Warum es nützlich ist, ist es nicht wirklich nützlich oder nicht. Es ist eine Eigenschaft eines Phänomens. Wenn die Welle eine ausreichend große Gruppengeschwindigkeit hat, kann sie Energie/Impuls sogar gegen die Strömung, in der sie mitgerissen werden kann oder nicht, von einer Quellregion wegtragen.

Wie kann ich meine Intuition mit der Mathematik in Verbindung bringen?

Siehe meine Hintergrundbeschreibungen oben.

Verweise

1. Whitham, GB (1999), Lineare und nichtlineare Wellen , New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.; ISBN:0-471-35942-4.

Betrachten wir der Einfachheit halber ein Wellenpaket, das at$t=0$hat Gaußsche Form:

Bemerkungen:

• Ich habe oben den einfachsten möglichen Fall betrachtet, aber es können Verallgemeinerungen für nicht-Gaußsche Wellenpakete und Wellenpakete durchgeführt werden, die an anderen Punkten als im k-Raum zentriert sind$k=0$. In diesem Sinne ist die richtige Definition der Gruppengeschwindigkeit $$v_g(k_0)=\frac{\partial \omega_k}{\partial k}|_{k=k_0},$$ dh Angabe des Punktes, an dem die Ableitung zentriert ist (siehe z. B. die Wikipedia-Ableitung ).
• Die Gruppengeschwindigkeit wird oft in Form von partiellen (eher als vollständigen) Ableitungen oder einem Gradienten definiert, da wir es typischerweise mit Medien zu tun haben, die mehr als eine Dimension haben: $$\mathbf{v}_g(\mathbf{k}_0)=\nabla_\mathbf{k}\omega_\mathbf{k}|_{\mathbf{k}=\mathbf{k}_0},$$

Wenn wir Phononen beschreiben, verwenden wir die Dispersionsrelation (Winkelgeschwindigkeit vs. Wellenvektor). Und die Steigung dieses Diagramms kann Ihnen sagen, wie schnell sich diese Phononen bewegen (Gruppengeschwindigkeit).

Meine bevorzugte Erklärung ist das sogenannte Argument der "Stationarität der Phase". Für ein Wellenpaket ist jede einzelne Fourier-Komponente mit gegeben$k$hat an einer bestimmten Position eine andere Phase$x$:$\phi(k)=\omega(k) t - kx$. Die Gruppengeschwindigkeit folgt der Position des Maximums des Wellenpakets als Funktion der Zeit. Die Intuition ist, dass das Maximum des Pakets an einer Position auftritt, wo alle Komponenten mehr oder weniger in Phase um die Komponente sind$k_{0}$von maximalen Amplituden (die Amplituden addieren sich dann konstruktiv), also wann$\phi(k) \approx cte$um$k_{0}$oder$\frac{\partial \phi(k)}{\partial k}= 0$. Daraus ergibt sich das Ergebnis$x=\frac{\partial \omega(k)}{\partial k}t$.

Denk an$v_{group}$als Durchschnitt des Wellenpakets. Es gibt auch die Phasengeschwindigkeit und Sie können sie bei der Wiki-Suche sehen. Sie bewegt sich per Definition anders: "Die Phasengeschwindigkeit einer Welle ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Welle in einem Medium ausbreitet."

Aber wie auch immer, Sie können Ihre Intuition auf der Grundlage von Mathematik aufbauen. Es ist wirklich ein schönes Thema. Ich hoffe, Sie werden der nächste John Nash sein.