Stellen Sie sich eine Welle vor

$$A = \int_{-\infty}^{\infty} a(k) e^{i(kx-\omega t)} \ dk,$$

Wo$a(k)$die Amplitude der k-ten Wellenzahl ist, und$\omega=\omega(k)$ist die Frequenz, bezogen auf$k$über eine Dispersionsrelation. Beachten Sie, wenn wir eine Welle verfolgen wollten, mit Wellennummer$k$, mit konstanter Phase, würden wir sehen, dass dies auftritt, wenn$kx=\omega t$, dh$x/t = \omega/k = c$, mit$c$Die$\textbf{phase}$Geschwindigkeit.

Wir würden gerne wissen, mit welcher Geschwindigkeit der Umschlag$|A|$reist.

Für$\textbf{narrow banded}$Wellen, die Winkelfrequenz$\omega$kann über die Taylorentwicklung um eine zentrale Wellenzahl angenähert werden$k_o$, dh

$$\omega(k) = \omega(k_o) + \frac{\partial \omega}{\partial k} (k-k_o) + \mathcal{O}((k-k_o)^2),$$

wobei die Größenordnung der Bandbreite durch den kleinen Parameter quantifiziert wird$(k-k_o)$. Daher können wir umschreiben$A$als

$$A \approx e^{-i(\omega(k_o)t-k_o\frac{\partial \omega}{\partial k}t)} \int_{-\infty}^{\infty} a(k) e^{ik(x-\frac{\partial \omega}{\partial k} t)} \ dk.$$

Deshalb

$$|A| = \left| \int_{-\infty}^{\infty} a(k) e^{ik(x-\frac{\partial \omega}{\partial k} t)} \ dk \right|,$$

der besagt, dass der Umschlag,$|A|$, fährt schnell$\frac{\partial \omega}{\partial k}$, dh

$$|A(x,t)| = |A(x-c_g t,0)|,$$ wo wir definiert haben $$c_g \equiv \frac{\partial \omega}{\partial k}.$$

Die Gruppengeschwindigkeit hat dynamische Bedeutung, da es sich um die Geschwindigkeit handelt, mit der sich die Energie ausbreitet.

Definitionen

Bevor wir beginnen, sollten wir einige Begriffe und Parameter/Funktionen definieren, die später verwendet werden:

Wellennummer: $\equiv$effektiv die Anzahl der Wellenberge ( dh der Bauch des lokalen Maximums) pro Längeneinheit$\leftrightharpoons$„Dichte“ von Wellen$\rightarrow$ $\boldsymbol{\kappa}$ $=$ $\boldsymbol{\kappa}\left(\omega,\textbf{x},t\right)$Im Algemeinen

Wellenfrequenz: $\equiv$effektiv die Anzahl der Wellenkämme, die die Position kreuzen$\mathbf{x}$pro Zeiteinheit$\leftrightharpoons$„Fluss“ von Wellen$\rightarrow$ $\omega$ $=$ $\omega\left(\boldsymbol{\kappa},\textbf{x},t\right)$Im Algemeinen

Wellenphase: $\equiv$Position auf einem Wellenzyklus zwischen einem Berg und einem Tal (dh Bauch des lokalen Minimums)$\rightarrow$ $\phi$ $=$ $\phi\left(\textbf{x},t\right)$Im Algemeinen

Phase und Kontinuität

Dann können wir eine elementare Lösung für periodische Wellengleichungen definieren als:

$$\psi\left( \mathbf{x}, t \right) = \mathcal{A} \ e^{ {\displaystyle i\left( \boldsymbol{\kappa} \cdot \mathbf{x} - \omega t \right) } }$$ Wo $\mathcal{A}$ist die Wellenamplitude und kann im Allgemeinen eine Funktion von sein $\boldsymbol{\kappa}$und/oder $\omega$, aber wir gehen vorerst von einer Konstante aus. Nehmen wir an, eine Dispersionsrelation , $\omega$ $=$ $\mathcal{W}\left( \boldsymbol{\kappa}, \textbf{x}, t \right)$, existiert und kann nach positiven reellen Wurzeln aufgelöst werden. Im Allgemeinen gibt es mehrere Lösungen für die Dispersionsrelation, wobei jede Lösung als unterschiedliche Modi bezeichnet wird . Der Term im Exponenten ist als Wellenphase bekannt , gegeben durch: $$\phi\left( \mathbf{x}, t \right) = \boldsymbol{\kappa}\left( \omega, \mathbf{x}, t \right) \cdot \mathbf{x} - \omega\left( \boldsymbol{\kappa}, \mathbf{x}, t \right) \ t + \phi{\scriptstyle_{o}}$$ Weil $\phi\left(\textbf{x},t\right)$sich aus Lösungen der Wellengleichung ergibt, müssen ihre Ableitungen die Dispersionsrelation durch Folgendes erfüllen: $$- \frac{ \partial \phi\left( \mathbf{x}, t \right) }{ \partial t } = \mathcal{W}\left( \frac{ \partial \phi\left( \mathbf{x}, t \right) }{ \partial \mathbf{x} }, \mathbf{x}, t \right)$$ und wir können aus der Gleichung für sehen $\phi\left(\textbf{x},t\right)$dass folgendes stimmt: $$\begin{align} \boldsymbol{\kappa} & = \frac{ \partial \phi\left( \mathbf{x}, t \right) }{ \partial \mathbf{x} } \\ \omega & = - \frac{ \partial \phi\left( \mathbf{x}, t \right) }{ \partial t } \end{align}$$ Das wissen wir auch $\partial^{2} \phi$/ $\partial \mathbf{x} \partial t$ $=$ $\partial^{2} \phi$/ $\partial t \partial \mathbf{x}$, Deshalb: $$\begin{align} \frac{ \partial^{2} \phi }{ \partial t \partial \mathbf{x} } - \frac{ \partial^{2} \phi }{ \partial \mathbf{x} \partial t } & = 0 \\ & = \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial t } - \frac{ - \partial \omega }{ \partial \mathbf{x} } = 0 \\ & = \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial t } + \frac{ \partial \omega }{ \partial \mathbf{x} } = 0 \\ & = \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial t } + \nabla \omega = 0 \end{align}$$ Man sieht, dass diese Endform einer Kontinuitätsgleichung ähnlich sieht , solange $\boldsymbol{\kappa}$ $\leftrightharpoons$ Dichte der Wellen und $\omega$ $\leftrightharpoons$ Fluss der Wellen.

Phasengeschwindigkeit

Aus den obigen Beziehungen können wir das auf Konturen von Konstanten sehen$\phi\left(\textbf{x},t\right)$, wir sitzen auf lokalen Wellenbergen (dh Phasenfronten ) wo$\boldsymbol{\kappa}$ist orthogonal zu diesen Konturen . Diese Phasenfronten bewegen sich parallel dazu$\boldsymbol{\kappa}$mit einer Geschwindigkeit,$\mathbf{V}_{\phi}$, bekannt als die Phasengeschwindigkeit . Die allgemeine Form für diese Geschwindigkeit ist gegeben durch:

$$\mathbf{V}_{\phi} \equiv \frac{ \mathcal{W}\left( \boldsymbol{\kappa}, \mathbf{x}, t \right) }{ \kappa } \boldsymbol{\hat{\kappa}}$$

Gruppengeschwindigkeit

Wir können unsere Kontinuitätsgleichung umstellen, indem wir mit Eins multiplizieren, um zu erhalten:

$$\begin{align} \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial t } + \frac{ \partial \omega }{ \partial \mathbf{x} } \cdot \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial \boldsymbol{\kappa} } & = 0 \\ \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial t } + \frac{ \partial \omega }{ \partial \boldsymbol{\kappa} } \cdot \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial \mathbf{x} } & = 0 \\ \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial t } + \left( \mathbf{V}_{g} \cdot \nabla \right) \boldsymbol{\kappa} & = 0 \end{align}$$ Wo $\mathbf{V}_{g}$wird als Gruppengeschwindigkeit bezeichnet , wobei wir Folgendes festhalten: $$\frac{ \partial \omega }{ \partial \mathbf{x} } = \frac{ \partial \mathcal{W}\left( \boldsymbol{\kappa}, \mathbf{x}, t \right) }{ \partial \boldsymbol{\kappa} } \cdot \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial \mathbf{x} } + \frac{ \partial \mathcal{W}\left( \boldsymbol{\kappa}, \mathbf{x}, t \right) }{ \partial \mathbf{x} }$$ was das zeigt $\partial \mathcal{W}$/ $\partial \boldsymbol{\kappa}$ $=$ $\left( \partial \omega / \partial \boldsymbol{\kappa} \right){\scriptstyle_{\textbf{x}}}$ $\Rightarrow$ anders$\boldsymbol{\kappa}$'s breiten sich mit Geschwindigkeit aus$\mathbf{V}_{g}$. Mit anderen Worten,$\mathbf{V}_{g}$ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit für$\kappa$Und$\mid$$\mathcal{A}$$\mid^{2}$breitet sich mit Geschwindigkeit aus$\mathbf{V}_{g}$.

Somit bewegt sich ein Beobachter mit den Phasenfronten (Kämmen) um$\mathbf{V}_{\phi}$, aber sie beobachten, dass sich die lokale Wellenzahl und Frequenz mit der Zeit ändern$\Rightarrow$benachbarte Phasenfronten (Berge) bewegen sich in diesem Rahmen vom Beobachter weg. Im Gegensatz dazu für einen Beobachter, der sich mitbewegt$\mathbf{V}_{g}$, beobachten sie eine konstante lokale Wellenzahl und Frequenz (in Bezug auf die Zeit), aber Phasenfronten (Berge) bewegen sich in diesem Rahmen kontinuierlich am Beobachter vorbei.

Verweise

Whitham, GB (1999), Lineare und nichtlineare Wellen , New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.; ISBN:0-471-35942-4.