Wie findet man die Geschwindigkeitsfunktion einer mechanischen Welle?

Sie können (und müssen tatsächlich) die Ableitung anwenden, um die Geschwindigkeit zu finden, aber es erfordert ein wenig sorgfältige Argumentation.

Denken Sie zuerst einmal darüber nach: Was genau ist die Geschwindigkeit einer Welle? Es ist die Geschwindigkeit, mit der sich ein bestimmter Punkt auf der Wellenstruktur bewegt. Punkte auf der Wellenstruktur werden durch ihre Phase identifiziert , was das Argument von ist$\sin$Funktion. Beispielsweise wird ein Peak durch die Phase identifiziert$\phi = \frac{n\pi}{2}$, Wo$n$ist eine ungerade ganze Zahl. Sie suchen also nach der Geschwindigkeit eines Punktes mit konstanter Phase .

Sobald Sie das wissen, können Sie den Ausdruck für Phase einfach implizit differenzieren,

$$\phi = kx - \omega t + \phi_0$$

daran denken$\phi$ist konstant:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phi = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[kx - \omega t + \phi_0]$$

geben

$$0 = k\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} - \omega$$

oder

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\omega}{k}$$

was der Ausdruck für die Geschwindigkeit einer Sinuswelle ist.

David und Mark erklärten, wie man die Geschwindigkeit abschätzen kann$v_x$der Formausbreitung entlang der Ausbreitungsrichtung.

Es gibt noch eine andere Geschwindigkeit, sagen wir die vertikale Geschwindigkeit$v_y$an einem bestimmten Ort, der ganz anders ist und durch die Wellenamplitude, Frequenz und Zeit bestimmt wird:$v_y = A\omega cos(\omega t - kx - \phi_0)$. Es ist variabel.

Was ist Ihrer Meinung nach mit der Geschwindigkeit einer Welle gemeint?

Nun, es ist die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes auf der Welle, also suchen Sie sich einen aus$y(x_1,t_1) = C$sagen. Über eine zusätzliche Zeit$t_2$, hat sich der Punkt um eine zusätzliche Strecke bewegt$x_2$und da wir den gleichen Punkt betrachten, bedeutet dies$y(x_1+x_2, t_1+t_2) = C$Auch.

Das wird dir gesagt$y(x,t)=A\sin(k_x-w_t+O)$, So$A\sin(k_{x_1}-w_{t_1}+O) = C$, So$k_{x_1}-w_{t_1}+O = D$. Zu einem weiteren Zeitpunkt$t_2$und Distanz$x_2, k(x_1+x_2) - w(t_1+t_2) + O = D$. Subtrahiert man diese beiden Ausdrücke voneinander, erhält man

$$\begin{align} k(x_1+x_2)-k(x_1) - w(t_1+t_2) + w(t_1) &= 0,\\[5pt] \frac{(x_1+ x_2)-(x_1)}{(t_1+t_2)-(t_1)} &= \frac wk\\[5pt] v &= \frac wk \end{align}$$