Ableitung der Gruppengeschwindigkeit

Bei der Einführung in die quantenmechanische Phase v P und Gruppe v G Geschwindigkeiten werden oft dargestellt. Ich weiß, wie man ableitet v P und Gleichung erhalten:

v P = ω k .

Was ich nicht weiß, ist, wie man eine Ableitung einer Gruppengeschwindigkeit erklärt v G an mich. Unser Professor hat es hergeleitet, aber ich habe einige Schwierigkeiten damit.

Zuerst hat er eine Überlagerung von 2 Wellen mit der gleichen Amplitude gemacht S 0 :

S = S 0 Sünde ⁡ ( ω 1 T − k 1 X ) + S 0 Sünde ⁡ ( ω 2 T − k 2 X ) S = S 0 [ Sünde ⁡ ( ω 1 T − k 1 X ) + Sünde ⁡ ( ω 2 T − k 2 X ) ] S = 2 S 0 [ Sünde ⁡ ( ( ω 1 T − k 1 X ) + ( ω 2 T − k 2 X ) 2 ) ⋅ cos ⁡ ( ( ω 1 T − k 1 X ) − ( ω 2 T − k 2 X ) 2 ) ] S = 2 S 0 [ Sünde ⁡ ( ω 1 + ω 2 2 T − k 1 + k 2 2 X ) ⋅ cos ⁡ ( ω 1 − ω 2 2 T − k 1 − k 2 2 X ) ] S = 2 S 0 [ Sünde ⁡ ( ω ¯ T − k ¯ X ) ⋅ cos ⁡ ( Δ ω 2 T − Δ k 2 X ) ]

Hier ω ¯ ist größer als Δ ω und deswegen:

  • Sünde ⁡ ( ω ¯ T − k ¯ X ) ist ein Teil, der einen Umschlag deklariert und
  • cos ⁡ ( Δ ω 2 T − Δ k 2 X ) ist ein Teil, der Phasen innerhalb einer Hüllkurve deklariert .

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Dann nimmt der Professor nur einen Teil, der eine Hüllkurve deklariert und sagt, dass die Phase dieses Teils so konstant sein muss:

Δ ω 2 T − Δ k 2 X = C Ö N S T .

FRAGE: Was bedeutet das? Bedeutet eine konstante Phase, nur einen Punkt zu betrachten, der immer gleich weit entfernt ist X Achse? Bitte jemand erklärt das ein bisschen.

Nun, dann leitet er die Gruppengeschwindigkeit von nun an einfach so ab:

Δ ω 2 T − Δ k 2 X = C Ö N S T . Δ k 2 X = Δ ω 2 T − C Ö N S T . X = Δ ω Δ k T − 2 Δ k C Ö N S T .

Wenn ich teilweise differenziere X Ich bekomme endlich Gruppengeschwindigkeit:

v G = ∂ X ∂ T v G = Δ ω Δ k v G = D ω D k

Antworten (2)

In der ursprünglichen Formel haben wir das

ω 1 T − k 1 X = A
sagen, und
ω 2 T − k 2 X = B
sagen, durch Hypothese für einen bestimmten Zeitpunkt T und Stellung X . Dies ist ein Punkt konstanter Phase (für die A Welle und B Welle bzw. Welle.) Um die Geschwindigkeit einer (Sinus- oder Cosinus-) Welle aus Grundprinzipien zu bestimmen, möchte man die Geschwindigkeit dieses Punktes kennen: Wie weit bewegt sich ein Punkt konstanter Phase in der Zeit t? Dies gibt die Antwort der Phasengeschwindigkeit

v P = ω k

Die Komponentenwellen bewegen sich also mit Phasengeschwindigkeiten: v P 1 Und v P 2 bzw. Mit den obigen Werten für A Und B die mittlere Ableitung ist eine Anwendung der trigonometrischen Identität:

S ich N A + S ich N B = 2 S ich N ( 1 / 2 ( A + B ) ) ⋅ C Ö S ( 1 / 2 ( A − B ) ) .

Dies gibt Ihren Ausdruck für S = S ( X , T ) . Wie kann man hier also von einem Punkt konstanter Phase sprechen, um die Gruppengeschwindigkeit zu erhalten, da sie ein Produkt von sin und cos ist?

Nun, der Trick besteht in der Tat darin, die beiden getrennten Wellenkomponenten zu erkennen und diese (vorerst) als zwei getrennte Wellen zu behandeln und ihre (Phasen-) Geschwindigkeit zu berechnen - dh die Bewegungsrate von Punkten konstanter Phase in jeder "Welle".

Für die Sinuswelle würden wir also die Hüllkurve bekommen ω ¯ k ¯ .

Nun zur Kosinuswelle. Die kurze Antwort ist, dass wir auch nach seiner Phasengeschwindigkeit suchen, nämlich Δ ω Δ k .

Was Ihr Professor hier jedoch getan hat, ist, die Geschwindigkeit dieser Kosinuswelle von Grund auf zu berechnen. Das heißt, nach der Definition eines Punktes konstanter Phase zu fragen, nämlich: Δ ω 2 T − Δ k 2 X = C Ö N S T und dann die Geschwindigkeit (durch Differentiation usw.) dieses Punktes zu bestimmen, was wiederum zu führt

v G = Δ ω Δ k

Aber ω 1 T − k 1 X ist nicht konstant. X Und T sind Variablen einer Welle. Wie hast du das gemeint? Können Sie erklären, wie dies eine Konstante sein kann?
Ich habe diese Antwort erweitert, um einige Hintergrundinformationen zur Berechnung abzudecken.
Ich schätze die Mühe. Ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Die Gruppengeschwindigkeit ist hier eine Phasengeschwindigkeit einer Hüllkurve. GUTER TRICK!
Was ist ein Punkt konstanter Phase?

Die Erklärung ist perfekt, aber es gibt einen Fehler in dem Teil, in dem Sie sagten:

Hier ist ω größer als Δω und deshalb:

Korrektur

sin⁡(ωt−kx) ist ein Teil, der die Phase innerhalb der Hüllkurve angibt.

UND

Cos⁡(Δω/2t−Δk/2x) ist ein Teil, der die Hüllkurve angibt.

Der Grund dafür ist ω > ∆ω (offensichtlich) und mehr ω weniger T, wodurch die Welle sich verkrampft. Also da liegst du meiner Meinung nach falsch. Gruppengeschwindigkeit: ist nichts anderes als die Phasengeschwindigkeit einer Hüllkurve der oben erwähnten Welle. Die Hüllengleichung lautet also:

Cos⁡(Δω/2t−Δk/2x)

Hier betrachten wir also zwei Punkte, die die Wellenberge A und B darstellen würden. Die Kämme sind in Phase (Phase an beiden Punkten = Δω/2t−Δk/2x= π/2), sodass wir schlussfolgern können, dass die Phase in der Wellengleichung konstant ist. Wenn Sie Probleme haben, dies zu visualisieren, können Sie dies auch so beweisenzur Erklärung der Grp-Geschwindigkeit

PS: ENTSCHULDIGUNG FÜR SCHEISSE HANDSCHRIFT- UND ZEICHNUNGSFÄHIGKEITEN

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